Question

定积分习题 f(x)=(1-x^2)^0.5-2x∫（上限1，下限0）f(x)dx+∫(上1，下-1)f(x)dx

Answer 1

记∫(0,1)f(x)dx=A, ∫(-1,1)f(x)dx=B
则f(x)=(1-x^2)^0.5-2Ax+B....(*)
(*)两边同在(0,1)积分得
∫(0,1)f(x)dx=A=∫(0,1)(1-x^2)^0.5dx-2A∫(0,1)xdx+B∫(0,1)dx
即A=pi/4-A+B,...(1)
注:由定积分几何意义知∫(0,1)(1-x^2)^0.5dx表示1/4单位圆面积,pi=3.14159...

(*)两边同在(-1,1)积分得
∫(-1,1)f(x)dx=B=∫(-1,1)(1-x^2)^0.5dx-2A∫(-1,1)xdx+B∫(-1,1)dx
即B=pi/2+2B,...(2)
注:由定积分几何意义知∫(-1,1)(1-x^2)^0.5dx表示1/2单位圆面积
由(1),(2)解得2A=-pi/4.B=-pi/2
得f(x)=(1-x^2)^0.5x+(pi/4)x-pi/2