Question

已知函数f(x)=ax^3+X^2-2X+1(a不等于0）在(0,1)上单调递增，求a的范围

Answer 1

已知函数f(x)=ax^3+X^2-2X+1(a不等于0）在(0,1)上单调递增，求a的范围
解析：∵函数f(x)=ax^3+X^2-2X+1
函数f‘(x)=3ax^2+2x-2=3a(x+1/(3a))^2-(1+6a)/(3a)=0==>x1=(-2-√(4+24a))/(6a)，x2=(-2+√(4+24a))/(6a)
当a<=-1/6时，f’(x)<0，函数f(x)单调减；
当-1/6<a<0时，
F’(x)为开口向下的抛物线，x1>=x2，函数f(x)在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值；
若要在区间（0，1）上单调增
需使x2=0，则a=0，与已知a≠0矛盾；
或使x1>=1，即√(4+24a)<=-(6a+2)==>3a^2-a>=0==>a<0或a>=1/3(舍)

当a>0时
F’(x)为开口向上的抛物线，x1<=x2，函数f(x)在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值；
若要在区间（0，1）上单调增
需使x2=0，则a=0，与已知a≠0矛盾；
或使x1>=1，即-√(4+24a)>=6a+2，显然无解

综上，当a≠0时，不能保证在区间（0，1）上单调增

Answer 2

f(x)导数=3ax²+2x-2
在（0,1）上递增，导数大于0。
即x取（0,1）时，3ax²+2x-2＞0
即a＞（2-2x）／(3x²)=2／3（1／x²-1／x+1／4）-1／6=2／3（1／x-1／2）²-1／6
x取（0,1）1／x取（1，＋∞），显然a＞0.
不知对不对

Answer 3

解：
f'(x)＝3ax²＋2x－2＝3a[x＋1/(3a)]²－1/(3a)－2
∵原函数在(0,1)上单调递增
∴f'(x)在(0,1)上满足f'(x)＞0
3a[x＋1/(3a)]²＞(6a＋1)/(3a)
当a＞0时，有
[x＋1/(3a)]²＞(6a＋1)/(3a)²
x＋1/(3a)＜－(6a＋1)^0.5/(3a)或x＋1/(3a)＞(6a＋1)^0.5/(3a)
x＜－[(6a＋1)^0.5＋1]/(3a)或x＞[(6a＋1)^0.5－1]/(3a)
由题意：(0,1)为上区间的子集，即
－[(6a＋1)^0.5＋1]/(3a)≥1或[(6a＋1)^0.5－1]/(3a)≤0
显然[(6a＋1)^0.5±1]/(3a)＞0，上不等式无解
∴a＞0时不满足题意
当a＜0时，有
[x＋1/(3a)]²＜(6a＋1)/(3a)²
(6a＋1)^0.5/(3a)＜x＋1/(3a)＜－(6a＋1)^0.5/(3a)，其中6a＋1＞0，a＞－1/6
[(6a＋1)^0.5－1]/(3a)＜x＜－[(6a＋1)^0.5＋1]/(3a)
由题意：(0,1)为上区间的子集，即
[(6a＋1)^0.5－1]/(3a)≤0且－[(6a＋1)^0.5＋1]/(3a)≥1
前一项恒成立，只需解后一项
(6a＋1)^0.5≥－3a－1
当－1/3≤a＜0时，有－3a－1≤0
而(6a＋1)^0.5＞0，上式恒成立，满足题意
当－1/6＜a＜－1/3时，有
6a＋1≥9a²＋6a＋1
a²≤0无解
∴综上，a的范围为[－1/3,0)