Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1/2)=1,对于x、y∈ (0，+∞),当且仅当x＞y时

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1/2)=1,对于x、y∈ (0，+∞),当且仅当x＞y时，f(x)＜f(y),
（1）求f（1)的值
（2）若f(-x)+f(3-x)≥-2，求x的取值范围
要具体过程

Answer 1

1 因为f(xy)=f(x)+f(y)，f(1/2)=1
所以f（1/2 ×1）=f（1/2）+f（1）
即f（1/2）=f（1/2）+f（1）
得f（1）=0

2 因为f是定义在（0，+∞）上的函数。所以在f(-x)+f(3-x)≥-2 中必有x＜0
又因为对于x、y∈ (0，+∞),当且仅当x＞y时，f(x)＜f(y), 所以这个函数是单调减函数
∵f（1）=f（2）+f（1/2） 即0=f（2）+1 即f（2）=-1
f（4）=f（2）+f（2）=-2
所以f（-x）+f（3-x）=f（x²-3x）≥-2=f（4）
即f（x²-3x）≥f（4）
因为这个函数是减函数
所以x²-3x≤4
即x²-3x-4≤0、
得-1≤x≤4
又因为x＜0
所以x的取值范围是-1≤x＜0

Answer 2

1

Answer 3

(1)
f(x)=f(x)+f(1)
f(1)=0
(2)
f(-x)+f(3-x)+2f(1/2)≥0
f(-x(3-x)/4)≥f(1)
1≥-x(3-x)/4