Question

求助！！请高手解答！！高中数学椭圆问题！！急！！

已知A.B.C均在椭圆：（x^2）/a^2+y^2=1（a>1）上，直线AB.AC分别过椭圆的左右两焦点F1.F2，当向量AC*向量F1F2=0时，有9向量AF1*向量AF2=(向量AF1)^2
（1）求椭圆方程
（2）设P使椭圆上的任一点，EF为圆x^2+(y-2)^2=1的任意一条直径，求向量PE*向量PF的最大值

Answer 1

(1)F1、F2为x轴上左右两个焦点，故由向量AC*向量F1F2=0知AC⊥F1F2且交F1F2于F2。焦点F2的横坐标为√(a^2-1)，所以A、C的坐标分别为(√(a^2-1),1/a)、(√(a^2-1),-1/a)。
向量AF1=(-√(a^2-1),0)-(√(a^2-1),1/a)=(-2√(a^2-1),-1/a)
向量AF2=(√(a^2-1),0)-(√(a^2-1),1/a)=(0,-1/a)
由9向量AF1*向量AF2=(向量AF1)^2得：9[-2√(a^2-1)*0+1/a^2]=4[(a^2-1)+1/a^2]。解方程得a^2=(1+√6)/2。
所以，椭圆方程是2x^2/(1+√6)+y^2=1
(2)把P、E、F三点均用三角坐标来表示，其中由(1)得a=√[(1+√6)/2]。有
P(acosα,sinα)，E(cosβ,2+sinβ)，F(-cosβ,2-sinβ)，则
向量PE=(cosβ,2+sinβ)-(acosα,sinα)=(cosβ-acosα,2+sinβ-sinα)
向量PF=(-cosβ,2-sinβ)-(acosα,sinα)=(-cosβ-acosα,2-sinβ-sinα)
所以，向量PE*向量PF=(cosβ-acosα)(-cosβ-acosα)+(2+sinβ-sinα)(2-sinβ-sinα)=(1-a^2)(sinα)^2-4sinα+4+a^2
这是一个开口向下的抛物线，对称轴为sinα=2/(1-a^2)=-4(1+√6)/5<-1。所以，最大值在sinα=-1，即P点坐标为(0,-1)时取得。此时，向量PE*向量PF≤1-a^2+4+4+a^2=9
向量PE*向量PF的最大值为9。