Question

椭圆问题！速求解！

设椭圆E：X²/4+y²=1的上下顶点为A1A2，P是异于A1A2的任意一点，直线PA1，PA2交X轴于M、N。若直线OT与过点MN的圆G相切，切点为T，圆心为G. 证明OT长为定值并求出定值。图如下：
好不容易画的- -

Answer 1

A1(0，1) A2(0，1),设P(x0，y0),
直线PA1：y-1=（y0-1/x0）*x 令y=0,得xN=x0/（y0-1）
直线PA2：y+1=（y0+1/x0）*x 令y=0,得xM=x0/（y0+1）
OM·ON=|(-x0/（y0-1)*x0/（y0+1|）=x0的平方/（1-y0的平方）
而x0的平方/4+y0的平方=1
所以x0的平方=4(1-y0的平方)
所以OM·ON=4
由切割线定理得OT的平方=OM·ON=4 所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.
兄弟对不住了，符号不会打啊！你凑合看吧！
望采纳！

追问

OM·ON=|(-x0/（y0-1)*x0/（y0+1|）=x0的平方/（1-y0的平方）

↑
这步中间 ↑ ← ← 这个方框是什么？

Answer 2

还应加一条件：P点不能为椭圆与x轴的交点
下面采用椭圆参数方程处理

已知A1(0,1),A2(0,-1)，设P点坐标为P(2cost,sint)

直线PA1:y-1=(sint-1)/(2cost)*x， 当y=0时，x1=2cost/(1-sint)
直线PA2:y+1=(sint+1)/(2cost)*x，当y=0时，x2=2cost/(1+sint)

由于OT为⊙G的切线，故OT^2=OM*ON=x1*x2=4(cost)^2/[(1-sint)(1+sint)]=4
即OT=2

追问

椭圆参数方程是什么。。貌似没学 不懂啊

追答

如果没学参数方程，就直接用x,y表示坐标，即P点坐标为P(x,y)（由对称性，只需考虑第一象限的点），满足x^2/4+y^2=1，方法同上
求出x1=x/(1-y)，x2=x/(1+y)
OT^2=x^2/(1-y^2)=4，OT=2 结果与上面是一样的
另：椭圆的参数方程就是将椭圆上的点x,y用参数t表示，即
对于x^2/a^2+y^2/b^2=1 (1)
其参数方程为x=acost，y=bsint 0≤t≤2π (2)
显然(1)式与(2)式是等价的

追问

我不懂为什么OT^2=x^2/(1-y^2)=4？

追答

OM=x1=x/(1-y)
ON=x2=x/(1+y)
OT^2=OM*ON=x/(1-y)*x/(1+y)=x^2/(1-y^2)=4 （注：x^2/4+y^2=1）

追问

OT^2=OM*ON 这是切线长公式吗？

追答

可以当成公式，也就是若O为圆外一点，OT为圆的切线长，OM为圆的割线，与圆交于N，则OT^2=OM*ON

证明：连接O，G交⊙G于C,D两点，连接T,G，考虑到GT=GD=GC
直角△OTG中，OT^2=OG^2-GT^2=(OG+GT)*(OG-GT)=(OG+GD)*(OG-GC)=OD*OC (1)
连接C,N；连接D,M
∵∠ONC=∠ODM （圆内接四边形对角互补）
∴△ONC∽△ODM
∴ON/OD=OC/OM，即OM*ON=OD*OC (2)
联立(1),(2)得OT^2=OM*ON