若α∈(0,π/2),证明sin^3α+cos^3α<1
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α∈(0,π/2)
sin^3α+cos^3α
=sin^3α+cosα*cos^2α
=sin^3α+cosα*（1-sin^2α）
=sin^3α+cosα-sin^2αcosα
=sin^3α-sin^2αcosα+cosα
=sin^2α(1-cosα)+cosα
=(1-cos^2α)(1-cosα)+cosα
=1-cos^2α-cosα+cos^3α+cosα
=1-cos^2α+cos^3α
=1-cos^2α(1-cosα）
∵cos^2α＞0，1-cosα＞0
∴cos^2α(1-cosα）＞0
∴1-cos^2α(1-cosα）＜1
sin^3α+cos^3α
=sin^3α+cosα*cos^2α
=sin^3α+cosα*（1-sin^2α）
=sin^3α+cosα-sin^2αcosα
=sin^3α-sin^2αcosα+cosα
=sin^2α(1-cosα)+cosα
=(1-cos^2α)(1-cosα)+cosα
=1-cos^2α-cosα+cos^3α+cosα
=1-cos^2α+cos^3α
=1-cos^2α(1-cosα）
∵cos^2α＞0，1-cosα＞0
∴cos^2α(1-cosα）＞0
∴1-cos^2α(1-cosα）＜1
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