Question

谁有高中数学立体几何中的棱柱棱锥（三到六全部）的外接球体积求法

Answer 1

1.求边长为L，高为H的棱柱的外接球体积
(1)求棱柱顶面(或底面)形心到任一角的距离d
三棱柱：d3=L/2/sin(360/3/2)=L/根号3
四棱柱：d4=L/2/sin(360/4/2)=L/根号2
五棱柱：d5=L/2/sin(360/5/2)=L/(2sin36)
六棱柱：d6=L/2/sin(360/6/2)=L
......
n棱柱：dn=L/2/sin(360/n/2)=L/[2sin(180/n)]
(2)求球半径R，得球体积V
由于球心与棱柱心重合，所以有R^2=d^2+(H/2)^2
即R=√[d^2+(H/2)^2]
由 V=4/3*π*R^3 得：
三棱柱外接球体积：V3=4/3*π*[√(L^2/3+(H/2)^2)]^3
四棱柱外接球体积：V4=4/3*π*[√(L^2/2+(H/2)^2)]^3
五棱柱外接球体积：V5=4/3*π*[√(L^2/(2sin36)^2+(H/2)^2)]^3
六棱柱外接球体积：V6=4/3*π*[√(L^2+(H/2)^2)]^3
......
n棱柱外接球体积：Vn=4/3*π*[√(L^2/(2sin(180/n))^2+(H/2)^2)]^3

2.求边长为L，高为H的棱锥的外接球体积
(1)求球心位置
棱锥底面形心到任一角的距离为d，求法同棱柱
球心一定在棱锥高上，且球心到锥体顶点的距离和球心到底面任意一角的距离相等
R^2=d^2+(H-R)^2 整理得：R=(d^2+H^2)/(2H)
由 V=4/3*π*R^3 得：
三棱锥外接球体积：V3=4/3*π*[(L^2/3+H^2)/(2H)]^3
四棱锥外接球体积：V4=4/3*π*[(L^2/2+H^2)/(2H)]^3
五棱锥外接球体积：V5=4/3*π*[(L^2/(2sin36)^2+H^2)/(2H)]^3
六棱锥外接球体积：V6=4/3*π*[(L^2+H^2)/(2H)]^3
......
n棱锥外接球体积：Vn=4/3*π*[(L^2/(2sin(180/n))^2+H^2)/(2H)]^3