Question

α，β是方程x²＋ax＋b＝0的两个实根，证:若|α|＜2,|β|＜2，那么2|α|＜4＋b且|b|＜4。并证明它的

(“若”与“那么”后的命题互换)

Answer 1

解：(1)根据韦达定理,有|b|=|αβ|<4.
由|α|<2,|β|<2,及f(x)=x²+ax+b的开口向上,故必有f(±2)>0,即
4+2a+b>0 2a>-(4+b)
4-2a+b>0 2a<4+b <===> 2|a|<4+b

(2)由2|a|<4+b得 4±2a+b>0,即f(±2)>0,
由此可知f(x)=0的两根都在区间x<-2,x>2 或 2>x>-2内,
但|αβ|=|b|<4,故α,β只能同在(-2,2)内,即|α|<2,|β|<2.