Question

已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，

已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。
查到的解答过程如下
∵f(x)是偶函数，f(－x)＝f(x)，∴b＝d＝0，f(x)＝ax4＋cx2＋e，
又∵ 图象过点A(0，－1)，
∴e＝－1，∴f(x)＝ax4＋cx2－1，f'(x)＝4ax3＋2cx，
当x＝1时，f'(1)＝4a＋2c＝－2......①
对于2x＋y－2＝0，当x＝1时，y＝0。
∴点(1,0)在f(x)图象上，a＋c－1＝0........②
由①，②解出a＝－2，c＝3，因此f(x)＝－2x4＋3x2－1。

#我想问的是，为什么是偶函数b=d=0?~
在线等求解~感谢~~！！！

Answer 1

f(-x)＝f(x)
ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e
则2bx3+2dx=0
这个式子的对x∈R都成立
所以只有2b=0,2d=0

追问

请问能再详细点吗~？

追答

你哪里不断

追问

为什么这个式子的对x∈R都成立？

追答

函数定义域是R
而偶函数，则对大于内任意x，f(-x)=f(x)都成立

Answer 2

因为是偶函数所以b=d=0,
把(0,1)代入方程所以e=1.
方程变为f(x)=ax4+cx2＋1求导 f'(x)=4ax3+2cx
所以f'(1)=4a+2c=1,
x=1时y=x-2＝-1,把点(1,-1)(是切线与此偶函数的交点）,代入方程a+c+1=-1
连立
4a+2c=1
a+c+1=-1
解得a=2.5,c=-4.5
所以f(x)=2.5x4-4.5x2+1

Answer 3

因为是偶函数，所以那个函数图像应该是以Y轴对称。所以b=d=0

Answer 4

呸呸呸