Question

偶函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的图像过点P（0，1），在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式。

偶函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的图像过点P（0，1），在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式。

Answer 1

f(-x)=a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e
=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e
f(x)是偶函数
所以f(x)=f(-x)
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e
2bx^3+2dx=0,不论x取何值都成立
所以b=0,d=0

所以f(x)=ax^4+cx^2+e
图象过P(0,1),
所以1=a*0^4+c*0^2+e
e=1

f(x)=ax^4+cx^2+1
f'(x)=4ax^3+2cx
在x=1处的切线方程为y=x-2
x=1，y=1-2=-1
所以(1,-1)在f(x)上
所以a+c+1=-1 (1)
又x=1时，切线斜率是1
所以(1,1)在f'(x)上
所以4a+2c=1 (2)
所以a=-5/2,c=-1/2

f(x)=-(5/2)x^4-(1/2)x^2+1

Answer 2

根据偶函数f=ax^4+cx^2+e,f(0)=e=1
f(1)=a+c+1=-1 (1)
f'(x)=4ax^3+2cx
f'(1)=4a+2c=(x-2)'=1 (2)
解(1)(2)得a=5/2,c=-9/2
f(x)=(5/2)x^4-(9/2)x^2+1

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追问

亲 不好意思 你好像把题目看错了 为什么没有x的二次项和一次项呢？

Answer 3

因为过（01）点，所以
f（0）=e=1
在x=1点有切线，求f（x）导
f（1）导=4a+3b+2c＋d＝1
因为是偶函数
f（x）=f（-x）
在x=1时，f（1）=a+b+c+d+e=-1
这样就可以解出来了