Question

一道数学解析几何题，高人求解！

已知两圆x²+y²-2x-6y-1=0和x²+y²-10x-12y+m=0.
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值是两圆内切？此时公切线方程是什么？
（3）求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长。

Answer 1

首先化简圆的方程 （X-1)²+(Y-3)²=11 (X-5)²+(Y-6)²=61-m
（1）：当两圆圆心距离等于两个圆半半径之和时，两圆外切
即5=√11+√（61-m)
解得m
（2）：当两圆圆心距离等于两个圆半径之差时，两圆内切
即5=|√11-√（61-m)|
解得m，
切线垂直于两个圆心所在直线，求出切线斜率，并且将m带入后，求出两个圆的切点，即可算出切线
（3）：

带入m，画图，算出园半径，圆心距离，与切线的关系即可。

可以仔细看下这个题，怀疑第一个给的圆的方程有问题，否则题的计算会比较复杂！

Answer 2

(1) 圆 (x-1)^2+(y-3)^2=11 和圆 (x-5)^2+(y-6)^2=61-m
外切， 则，圆心O1到圆心O2的距离为 R1+R2
所以 |O1O2|=R1+R2
即 (5-1)^2+(6-3)^2=(11^0.5+(61-m)^0.5)^2 =>m= 61-(5-11^0.5)^2=58.1662
(2)内切时，|O1O2|=R2-R1 R1=11^0.5<5=|O1O2|
=>5=-11^0.5+(61-m)^0.5 =>m=61-(5+11^0.5)^2= -8.1662
公切线 (x-1)^2+(y-3)^2=11 - (x-5)^2+(y-6)^2=61-m => 8x+6y=61-m-11+1+9-25-36=-m-1
(3) 直线 8x+6y=-m-1=-46 R2=(61-m)^0.5=4 d=2*(4^2-(5/2)^2)^0.5=28^0.5