Question

简单的高中数学问题

在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A，B，C，D的度数之比为3：7：4：10。
求AB的长？

需要解题过程。

Answer 1

∵四边形的内角度数和为360°
∴角A、B、C、D的度数依次为：45°，105°，60°，150°。
连接BD
∵由余弦定理：BC²+CD²-2BC*CD*cos∠BCD=BD²
∴得到BD=（根号3）a
还可以得到△BCD为直角三角形，且∠DBC=90°，∠BDC=30°
又∵∠ADB=150°，∠ABC=105°
∴∠ADB=120°，∠ABC=15°
过D作⊥于AB的高DE，交AB于E点
∴△AED，△EBD均为直角三角形
∴AE=ED
不妨设AE=ED=x
∵在直角三角形EBD中，由勾股定理有BE²+ED²=BD²
∴BE²+x²=3a²
又∵BE²=x²+3a²-2*（根号3）*a*cos75°
∴综合的2x²-2*（根号3）*a*cos75°=0
解之得x=(根号3)*a*cos75°=0.448a