Question

已知 a,b,c均为非零实数，满足(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c,求分式（a+b）（b+c)(c+a)/abc的值

已知 a,b,c均为非零实数，满足(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c,求分式（a+b）（b+c)(c+a)/abc的值

Answer 1

(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c=k
b+c-a=ak （1） b+c=a（1+k）
c+a-b=bk （2） c+a=b（1+k）
a+b-c=ck （3） a+b=c（1+k）
（a+b）（b+c)(c+a)/abc=（1+k）³

（1）+（2）+（3）
a+b+c=（a+b+c）k
a+b+c=0时 a+b=-c (a+b-c)/c=-2=k
a+b+c≠0 k=1
（a+b）（b+c)(c+a)/abc=（1+k）³
k=1，原式=8
k=-2时原式=1

Answer 2

解：设（b＋c－a）/a＝（c＋a－b）/b＝（a＋b－c）/c＝k
b＋c－a＝ak…………①
c＋a－b＝bk…………②
a＋b－c＝ck…………③
②＋②＋③得：a＋b＋c＝（a＋b＋c）k
（a＋b＋c）（k－1）＝0
一：当a＋b＋c＝0时，
（a＋b）（b＋c）（a＋c）/abc＝－abc/abc＝－1;
二： 当k－1＝0时，
a＋b＝2c
b＋c＝2a
a＋c＝2b
（a＋b）（b＋c）（a＋c）/abc＝2a·2b·2c/abc＝8

Answer 3

解：设（b＋c－a）/a＝（c＋a－b）/b＝（a＋b－c）/c＝k
b＋c－a＝ak…………①
c＋a－b＝bk…………②
a＋b－c＝ck…………③
②＋②＋③得：a＋b＋c＝（a＋b＋c）k
（a＋b＋c）（k－1）＝0
一：当a＋b＋c＝0时，
（a＋b）（b＋c）（a＋c）/abc＝－abc/abc＝－1;
二： 当k－1＝0时，
a＋b＝2c
b＋c＝2a
a＋c＝2b
（a＋b）（b＋c）（a＋c）/abc＝2a·2b·2c/abc＝8

Answer 4

解：
因(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c
(1)
(b+c-a)/a=(c+a-b)/b
b+c-a=a(c+a-b)/b
b+c=a(c+a-b)/b+a
b+c=a(c+a)/b
(2)
(b+c-a)/a=(a+b-c)/c
b+c-a=a(a+b-c)/c
b+c=a(a+b-c)/c+a
b+c=a(a+b)/c
故：
a(c+a)/b=a(a+b)/c
(c+a)/b=(a+b)/c
ac+c^2=ab+b^2
c^2-b^2=-a(c-b)
(c+b)(c-b)=-a(c-b)
b+c=-a
得b+c=-a; a+b=-c; a+c=-b
代入分式（a+b)(b+c)(c+a)/abc
(-c)(-a)(-b)/abc
=-1
分式（a+b）（b+c)(c+a)/abc的值为-1

Answer 5

因为原式可以化为（b+c）/a-1=(c+a)/b-1=(a+b)/c-1 这3个等式都加1可以得
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c
可以得出原分式=1