Question

高中数学函数极值最值题目（在线等～）

设函数f(x)=kx^3+ 3(k-1)x^2-k^2+1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是_____

Answer 1

解：
∵f(x)=kx^3+ 3(k-1)x^2-k^2+1
∴f'(x)=3kx^2+ 6(k-1)x
若k=0,则f'(x)=-6x
∵在区间(0,4)上f'(x)<0恒成立
∴k=0满足题意
若k>0
令f'(x)=0,解得x=0或者2/k-2
若2/k-2>0,即0<k<1时，f(x)的减区间为(0,2/k-2)
又∵f(x)在区间(0,4)上是减函数
∴4<=2/k-2
∴0<k<=1/3
若2/k-2<0,即k>1时，f(x)的减区间为(2/k-2,0)
又∵f(x)在区间(0,4)上是减函数
∴该情况不符题意，舍去
若k<0，令f'(x)=0，得x=0或者2/k-2
∴易得f(x)的减区间为(-∞,2/k-2)和(0,+∞)
符合题意
∴综上所述，k的取值范围是(-∞,1/3]