Question

请给我这道二次函数题的详细过程和准确答案

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1,3）
问：1 若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；2 若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围

Answer 1

设f(x)=ax＾2+bx+c
不等式f（x）＞-2x的解集为（1,3）,说明f(x)=ax＾2+(b+2)x+c与X轴的焦点为（1，0）（3，0）
有a+b+c+2=0 9a+3b+c+6=0 两式相减的8a+2b+4=0 b=-4a-2代入第一个得c=3a
(1).若方程f（x）+6a=0有两个相等的根,可得(把b、c关于a的式子代入)
ax＾2+(-4a-2)x+3a+6a=0 △=0=(-4a-2)＾2-36a＾2=0 a= 1或-1/5
f(x)=x＾2-6x+3或f(x)=(-1/5)x＾2-(6/5)x-3/5

(2). f(x)=ax＾2+(-4a-2)x+3a
因为f（x）的最大值为正数
当a>0时，满足
当a=0,f(x)=-2x,也满足
当a<0
f(x)max={(-4a-2)＾2-12a＾2}/4a>0 ,化简得到(a＾2+4a+1)/a>0
即是a＾2+4a+1<0(消去a变号)
得-2-√3<a<√3-2
所以取值范围为a≥0或-2-√3<a<√3-2

Answer 2

由“二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1,3）”，
设f （x）+2x=a(x-1)(x-3) (a<0)
（注意。这里必须强调a<0，因为a＞0时的解集不会是（1，3））
∴f(x)=ax²－（4a＋2）x＋3a
（1） f(x)+6a=ax²－（4a＋2）x＋9a
∵f（x）+6a=0有两个相等的根
∴△＝0
即（4a＋2）²－4a×9a＝0
解得a＝1(舍)， 或a＝－1/5
∴f（x）的解析式为 f(x)=－1/5x²－（－4/5+2）x－3/5
即f（x）＝－1/5x²-6/5x－3/5
(2)如前设，知 f(x)=ax²－（4a＋2）x＋3 a（a＜0）
其最大值〔4a*3a-(4a+2)²〕/4a>0
∵a＜0，∴上式可化为 a²＋4a＋1＞0
解得a＞（－4＋√15）/2 或 a＜（－4－√15）/2
其在a＜0的范围内的解集为 a＜（－4－√15）/2 或 （－4＋√15）/2 ＜a＜0 即为所求 。
请复核数字计算。