Question

高中立体几何问题

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，求二面角A-D1C-D的正切值。
请分别用向量方法和几何找角的方法解答一下，谢谢啦！

Answer 1

提供2种方法：

1、作DE⊥CD1于E，接着你自己证明 AE⊥CD1

     在三角形DD1C中，DE等于2直角边之积除以斜边，DE=2/√5

     在直角三角形ADE中，此二面角的正切值=AD/DE =√5/2 ，解答完毕。

2、考虑到 △DD1C是 △AD1C在垂直面上的投影，有

    S△DD1C = S△AD1C * cosα         (α为二面角)

       求得cosα=2/3  ，再求得tanα=√5/2

Answer 2

不好意思，好长时间没有做这方面的题了。不清楚你说的什么方法，也不能完全求出来，不过大体上思路应该是对的，先看立方体，在立方体中AD⊥面D1C1CD,过A在平面ACD1上做AE⊥CD1，连接DE，从AD⊥面D1C1CD，CD1属于面D1C1CD，可以导出AD⊥CD1，因为AE和AD相交于A，所以AE和AD在一个平面内，又因为AE⊥CD1，AD⊥CD1，所以CD1⊥面ADE，所以CD1⊥DE。这样就得出二面角AED了，把你要的面展开的话，可以得到这样一个四边行ACDD1,其中CD⊥DD1，CD=1，DD1=2，AE⊥CD1，CD1⊥DE，其中ACD1为等腰三角形（AD1和CD1为√5，AC=√2，）。再根据正/余弦定理求出AE，DE的值。回到立方体中（其中AD=1）再确认二面角AED正切值。哈哈，又回顾了一下从前的知识，自己算算吧，数学一定要勤算，不然眼高手低考试一定吃亏。