Question

这个方程组是否有正实数解

RT，方程组为：
x^3+y^3+z^3=x+y+z
x^2+y^2+z^2=xyz

如果有正实数解，请写出全部解，如果没有请证明

P.S.用mathematica解了好久，没有得到什么有价值的答案。所以我估计应该是无解

Answer 1

无正实数解解. 证明如下:

设a=x³+y³+z³=x+y+z>0, b=x²+y²+z²=xyz>0

首先由3xyz≤x³+y³+z³, 有3b≤a

再由3(x²+y²+z²)-(x+y+z)²=(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²≥0得到:3b≥a²

从而a²≤3b≤a

从而a≤1

又由xyz≤[(x+y+z)/3]³得到b≤a³/27

所以a²≤3b≤a³/9

即a²≤a³/9

从而a≥9, 这与前面得到的a≤1矛盾

所以上面的方程无正实数解 

注意上面的方程的解还是有的, 比如x=y=z=0就是一组平凡解,{x = -2.383297199...., y = -3.746635272....,z=4}是一组非平凡解 

经过进一步分析, 方程无除x=y=z=0外的整数解.