Question

已知实数abcd互不相等，且a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a=x,试求x的值

一定有解哦~我们老师说答案有根号的,而且没有字母~

Answer 1

无解。
原因：
由a+1/b=b+1/c,得a-b=(b-c)/bc,所以(a-b)/(b-c)=1/bc
同理，得(b-c)/(c-d)=1/cd,(c-d)/(d-a)=1/da,(d-a)/(a-b)=1/ab
四式相乘，得(abcd)^2=1
当abcd=1时，[(b-c)/(c-d)][(d-a)/(a-b)]=1/abcd=1
所以(b-c)(d-a)=(a-b)(c-d)
bd+ac-cd-ab=ac+bd-bc-ad,bc+ad-cd-ab=0,(b-d)(c-a)=0,矛盾
所以abcd=-1.
将abcd=-1代入原式，得a-bcd=b-cda=c-dab=d-abc=x
由a-bcd=c-dab得(a-c)(bd+1)=0，又a不等于c所以bd=-1
同理得到ac=-1,所以abcd=1，矛盾。
故无解。

Answer 2

由题意：a=d+1/x b=a+1/x
c=b+1/x d=c+1/x
所以：a+b+c+d=a+b+c+d+4/x
x=1+(a+b+c+d)/4