Question

已知函数f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在区间（1，正无穷）内恒成立，则实数a的范围为

求过程 谢谢

Answer 1

答：a>=1
请看分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立，
分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立，
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续。求导易得h'(x)=-lnx/x^2<0,(x>1),得h(x)在(1,+oo)递减，
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)<h(1)=1,此时a须取等号，
故a>maxh(x),得a的取值范围：a>=1。此时命题就恒成立了
（需要细细理解取等号。）

Answer 2

1、f'(x)=2x+a-1/x<=0，a<=1/x-2x在[1,2]上恒成立，研究不等式右侧函数易知其极小值在x=sqrt(2)/2处取得，所以a<=1/1-2*1=-1
2、g(x)=ax-lnx
(1)若最小值在(0,e]内取得，则g'(x)=a-1/x=0，x=1/a，g(1/a)=1-ln(1/a)=3，a=e^2，x=e^(-2)。验证a=e^2，发现它确实能使x=1/a为最小值，故成立。
(2)若最小值为x=e取得，则ae-1=3,，a=4/e。此时g(x)极小值点为x=e/4<e，不能满足x=e为最小值点。不成立。
综上，a=e^2。
(3)由2知，当a=e^2时g(x)取最小值3，即(e^2)x-lnx>=3，(e^2)x^2-xlnx>=3x，(e^2)x^2-3x>=xlnx（A），对比题中所给式，可知只要研究1/2x和lnx的关系。设u(x)=1/2x-xlnx，求导知x=2为最小值点，u(2)=1-ln2>0。故1/2x>lnx（B）。不等式（A）+（B）即得所证不等式。