Question

高一数学平面向量线性运算

（1）试证：若以原点O为始点的三个向量a,b,c的终点A,B,C在同一条直线上，则存在实数α，β属于R，使得：c=αa+βb，且α+β=1.
（2）试问命题（1）的逆命题是否成立？若成立，请给出证明，否则请说明理由。

Answer 1

(1)证明：记向量OA＝a，向量OB＝b，向量OC=c；向量AB=k倍的向量AC（k不等0），向量AB=OB-OA=b-a,向量AC=OC-OA=c-a,则b-a=k（c-a）化简得到：c=b/k+a(K-1)/K,记α=1/k,β=(K-1)/K,则α+β=1。即证明α+β=1

（2）命题（1）的逆命题成立。
证明：存在实数α，β属于R，使得：c=αa+βb，且α+β=1.则α=1-β，代入c=αa+βb=（1-β）a+βb
即OC=（1-β）OA+βOB，OC-OA=β（OB-OA）化简得：AC=β(AB),即证明向量a,b,c的终点A,B,C在同一条直线上

Answer 2

令向量A=a-tb
向量B=a-(1/3)(a+b)
那么a，tb,
(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上就等价于向量A和B共线，即
A=kB，k是比例系数
a-tb=k[a-(1/3)(a+b)]，化简得到
[1-(2/3)k]a=[t-(1/3)k]b
因为a、b不共线，那么
1-(2/3)k=0且t-(1/3)k=0，解得
k=3/2，t=1/2