Question

已知实数X、Y满足（X-根号里（X²-2010）)(Y-根号里（Y²-2010）)=2010 求3X²-2Y²+3X-3

在线等

Answer 1

∵(X-√X²-2010)(Y-√Y²-2010)=2010①.对分子有理化得：2010²/（X+√X²-2010)(Y+√Y²-2010)=2010。即（X+√X²-2010)(Y+√Y²-2010=2010②. 比较①②可知，X+√X²-2010=X-√X²-2010③或Y+√Y²-2010=Y-√Y²-2010④，解③、④中的任何一个等式都可得X=Y=√2010.
∴3X²-2Y²+3X-3=3*2010-2*2010+3√2010-3=2007+3√2010.

追问

(X-√X²-2010)(Y-√Y²-2010)=2010①.对分子有理化得：2010²/（X+√X²-2010)(Y+√Y²-2010)=2010这个过程不明白么，希望详细点

追答

对分子有理化就是给分数的分子、分母同时乘以分子的有理化因式，其目的是去除分子中的根式。它和分母有理化相类似。如：（3+√2）（5+√7）/1=[（3+√2）*（3-√2）]（[5+√7）（5-√7）]/[（3-√2）*（5-√7）]=7*18/(3-√2)*(5-√7)=126/（3+√2）（5-√7）（此时分子中已经没有根号）。 又如（x+√y）/1=(x+√y)(x-√y)/(x-√y)=(x²-y)/(x-√y)。再举一例：（x－√y）/1=(x-√y)(x+√Y)/(x+√y)=(x²-y）/(x+√y).现在回到本题中来：
∵ 原式=[X-√(X²-2010)][Y-√(Y²-2010)]/1=[X-√(X²-2010)][X+√(X²-2010)][Y-√(Y²-2010)][Y+√(Y²-2010)]／[X+√(X²-2010)][Y+√(Y²-2010)]=2010²/[X+√(X²-2010)][Y+√(Y²-2010)]=2010。
即 2010²/[X+√(X²-2010)][Y+√(Y²-2010)]=2010。 给等式两边同除以2010得：
2010/[x+√(x²-2010)][y+√（y²-2010)]=1. 从而有：[x+√﹙x²-2010﹚][y+√﹙y²-2010﹚]＝2010.