Question

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×.....×n的乘积末尾有500个零，自然数n的最大值是多少？

Answer 1

由于式子中，含有因子2的个数绝对多于因子5的个数。
所以，只要看其中包含多少个因子5最后的积中就能有多少个零。
先找计算因子5个数的方法。
1，由于5，10，15，20，25……每五个数就有一个是5的倍数，所以对数字n，有[n/5]个因子5。
（[n/5]表示不大于n/5整数，即n除以5的整数部分。）
2，由于25，50，75，……中每25个有一个数含两个因子5，前面只计了一次，所以，如果n≥25，另需要计[n/25]个因子5。
3，同理125，250，……中每个含有3个，所以n≥125时，另计，[n/125]个
以下依次类推。
故有，对任意n，含因子5的个数为，[n/5]+[n/25]+[n/125]+…+[n/5^i]+…
对于本题可知，[n/5]<500，n<2505。
所以，不存在含有5个因子5的数字，即i≥5时，[n/5^i]=0
故本题的方程为，[n/5]+[n/25]+[n/125]+[n/625]=500
又因为
n/5+n/25+n/125+n/625≥[n/5]+[n/25]+[n/125]+[n/625]=500
故得n≥2003
n/5+n/25+n/125+n/625<[n/5]+1+[n/25]+1+[n/125]+1+[n/625]+1=504
故得n<2019.3
所以，[n/25]=80；[n/125]=16；[n/625]=3
[n/5]=500-80-16-3=401
所以有，401≤n/5<402
2005≤n<2010
所以n最大为2009

Answer 2

没数五个数就会有一个五的倍数，5，10，15，20，25......以此类推，最终得出答案自然数是2009