Question

已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的AM、AN交椭圆与M、N两点,当直线AM的斜率为1时，

求点M的坐标，当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由。

Answer 1

A(-2,0)
设直线AM的斜率为k，显然k≠0，则AM：y=k(x+2) AN：y=-1/k(x+2)
联立x^2/4+y^2=1
解得 M((2-8k^2)/(1+4k^2),4k/(1+4k^2))=(x1,y1)
N((2k^2-8)/(k^2+4),-4k/(k^2+4))=(x2,y2)
(1)令k=1,则M(-6/5,4/5)
(2)直线MN：(y-y1)/(x-x1)=(y1-y2)/(x1-x2)
化简得：y-y1=5kx/(4-4k^2)-5k(1-4k^2)/[2(1+4k^2)(1-k^2)]
y-5kx/(4-4k^2)=3k/(2-2k^2)
∴4(1-k^2)y-5kx=6k
令y=0,∵k≠0
∴x=-6/5
即直线MN过x轴上的一定点(-6/5,0)