Question

已知抛物线y^2=4x，求过抛物线的焦点，且弦长等于8的弦所在的直线方程 求具体过程

Answer 1

y^2=2px,p=2,
焦点坐标为F（1，0），
设直线方程为：y=k(x-1),
设弦与曲线相交于A、B二点，
A（x1,y1),B(x2,y2)
代入抛物线方程，
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0,
根据韦达定理，
x1+x2=(2k^2+4)/k^2,
x1*x2=1,
根据弦长公式，|AB|=√（1+k^2)(x1-x2)^2
=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)[(2k^2+4)^2/k^4-4]
=√[16(1+k^2)^2]
=4(1+k^2)
4(1+k^2)=8,
k^2=1,
k=±1，
直线方程为：y=±(x-1).

Answer 2

抛物线的焦点F（1，0），设过点F的直线方程为y=k(x-1)
A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线与抛物线的两个交点，
当x1=x2=1时，|y1-y2|=4，因此满足条件的直线不能与X轴垂直，x1不能等于x2
于是 y1=k(x1-1) y2=k(x2-1) k=(y2-y1)/(x2-x1)=(0-y1)/(1-x1)
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=64
(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=(k^2+1)(x1-x2)^2=64 (1)
把直线方程与抛物线方程联立消去y，整理得 k^2x^2-(2k^2+4)x+1=0
(x1-x2^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2k^2+4)^2/k^2-4 (2)
把（2）代入（1）整理：（k^2-1)(k^4+5k^2-4)=0
k^2=1 k^2=(根号41-5）/2
K1=1，k2=-1，k3，k4，难写出，可自己写出
代入直线方程即可

Answer 3

抛物线焦点为F（1,0）方程与x轴不垂直时设方程为y=k（x-1）交点为A（x1，y1）B(x2，y2），代入y^2=4x，可得k^2*x^2-(2k^2+4)x+k^2=0，x1+x2=2k^2+4/k^2，由第二定义知，AF=x1+1，BF+x2+1,AB=AF+BF，所以x1+1+x2+1=8，所以x1+x2=6，2k^2+4/k^2=6，所以k=1或k=-1。
当与x轴垂直时弦长为4不符，故k=1或k=-1。

Answer 4

1.假设斜率k不存在，则可得通径为4，显然不满足题意
2.设直线为y=kx+b，因为此直线过点（1,0）所以直线表示为y=kx-k，联立直线与抛物线可得k∧2*x∧2-(2k∧2+4)*x+k∧2=0
由伟达定理可得
x1+x2=2(2+k∧2)；
x1*x2=1
设交点为A(x1,y1)B(x2,y2).
由两点之间的距离公式可得
L=根号(1+k∧2)[(x1+x2)∧2-4x1*x2]=8解得k∧2=1
斜率角为45或135度即的直线为y=x-1或y=-x+1。
计算中可能有错误但是思路正确。如果高中课本中的选学知识极坐标你学过这一题就不算题一分钟搞定，一点都不夸张！本人对极坐标比较感兴趣。

Answer 5

设直线为y=k(x-1),与抛物线方程联立可得：k2x2-2k2x-4x+k2=0,弦长公式为√(1+k2)*(x1-x2)的绝对值，所以得到4(1+k2)/k2=8,所以k=±1,所以方程为y=±(x-1)。