Question

点P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为

点P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为c/8,则双曲线的离心率e范围是______

答案是( 1, 3/4 ]

请解释 谢谢

Answer 1

这个题是这样的：假设左焦点为E，由于MO是三角形PEF的中位线，又MO=c/8，所以PE=c/4，根据双曲线的定义，可得到PF=2a+c/4，根据三角地任意两边之和大于第三边，得到：PE+PF<EF,即c/4+2a+c/4>2c，所以a>3c/4,即e=c/a<4/3,本来双曲线的离心率就大于1，所以1<e<4/3

Answer 2

设P点为P（x0,y0）,则M点坐标为M(（x0+c）/2,y0/2),由MO=c/8,可得
16（x0+c）^2+16y0^2=c^2, 此式 记为(1) ;
又P在双曲线上，把P（x0,y0）,代入方程，解出y0=b^2(x0^2/a^2-1)=(c^2-a^2)(x0^2/a^2-1),
再把y0代入（1），整理得：
16c^2*x0^2+32 a^2*cx0+16a^4-c^2*a^2=0, (2)
此为关于x0的二次方程，又P在左支，故存在<=-a的根
两根不能均<-a,否则两根之和-2a^2/c<-2a,化简可得a/c>1,即e<1,矛盾，
故只能一根大于-a,一根<=-a,
故把x0=-a代入（2）的左边，其结果必<=0，代入化简
即15c^2-32ac+16a^2<=0,两边同除a^2得
15e^2-32e+16<=0
(3e-4)(5e-4)<=0
4/5<=e<=4/3,又e>1,故e属于( 1, 4/3]