Question

高中数学函数题 高分。。。。。急求。。。。。救急，答对的再加100分。。。

设函数f(x)=√（a^2-x^2）/|x+a|+a （a∈R，a≠0）
1），分别判断A=1和A=-2时，F（x）的奇偶性
2），在A∈R且A≠0条件下，将（1）的结论加以推广，使命题(1)或为推广后命题的特例并证明你的结论

Answer 1

（1）a=1时f(x)=(√（1-x^2）)/(|x+1|+1 )定义域为[-1,1]关于原点对称,由f(0)≠0可知它不是奇函数，

a=2时，f(x)=(√（4-x^2）)/(|x+2|+2 )定义域为[-2,2]且x≠0关于原点对称；
f(x)=(√（4-x^2）)/(|x+2|+2 )=(√（4-x^2）)/(-x)(这步化简很重要，化简后容易判断奇偶性了)
由f(-x)=(√（4-x^2）)/x=-f(x)知它是奇函数;
（2）推广及证明：当a>0时，f(x)=(√（a-x^2）)/(|x+a|+a )定义域为[-a,a]关于原点对称,由f(0)≠0可知它不是奇函数，又f(a/2)≠f(-a/2)可知它不是偶函数；
当a<0时，f(x)=(√（a^2-x^2）)/(|x+a|+a )定义域为[a,-a]且x≠0关于原点对称；
f(x)=(√（a^2-x^2）)/(|x+a|+a )=(√（a^2-x^2）)/(-x-a+a)= (√（a^2-x^2）)/(-x)
由f(-x)= (√（a^2-x^2）)/x=-f(x)知它是奇函数;
本题解题关键是先求定义域，再根据定义域化简分母的绝对值。