Question

用比较判别法判断级数的敛散性，书中题，高手请看一下，我刚学

①1+2/3+2²/(3*5)+2³/(3*5*7).....
∞
②∑1/㏑（n+1）
n=1

希望有详细的解答过程，谢谢~

Answer 1

1. 设 a0=1，an=2^n / (3*5*7*...)，那么 an < 2^n / (2*4*6*...) = 2^n / ( 2^n * n!) = 1 / n!，
当 n 充分大时， n! > n^2，从而 an < 1/ n^2，从而原级数收敛。

2. ln ( n+1 ) < n + 1，故 1 / ln (n+1) > 1 / (n+1)，从而原级数发散。

追问

(2*4*6*...) = ( 2^n * n!) [这个不是应该等于2*n！吗？]

(2*4*6*...是2x4x6x8.....=2(1x2x3x4.....)啊)

追答

请问你小学毕业了吗？

追问

我只是有问题就不耻下问而已。

Answer 2

1.通项为 Un = 2^n /1*3*5...*(2n-1)
用比式判别法 lim Un+1 / Un = lim [ (2^(n+1)/1*3*...(2n-1)(2n+1)) * (1*3*...*(2n-1) /2^n ]
= lim 2 / (2n+1) = 0 < 1
则原级数收敛
2.用比较法 1/ ln(n+1) 与 1/n 比较
lim [ 1/ ln(n+1) ] / [ 1/n ] =1 (lim n趋向于∞ 1/ln(n+1)= 1/n )
则1 / ln(n+1) 与 1/n 同敛同散
∑1/n为调和级数 发散 则∑1/ln(n+1) 发散