Question

如图，正方形ABCD的边长为4，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，当点M在BC边上运动（不与B 、C 重合）时，

（1）当点M运动到什么位置时，△ABM相似 △AMN，求的值。
（2）设梯形ABCN的面积为Y，求Y与X之间的函数解析式; 并求当点M运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

①∵AM⊥MN，∴∠AMB+∠CMN=90°
在△AMB中，∠AMB+∠MAB=90°
∴∠MAB=∠NMC,又∠ABM=∠MCN=90°
∴△ABM∽△MCN

②△ABM∽△MCN
∴BM/CN=AB/MC
BC=AB=4,BM=x,MC=BC-BM=4-x
∴x/CN=4/(4-x)
∴CN=x(4-x)/4
∴梯形ABCN面积
y=(AB+CN)×BC/2
=[4+x(4-x)/4]×2
=-0.5x²+2x+8
=-0.5(x-2)²+10
∴y与x之间的函数关系式为y=-(1/2)x²+2x+8
当x=2，即M点运动到BC中点时，梯形ABCN面积最大为10

③
当Rt△ABM∽Rt△AMN时，
有AB/AM=BM/MN
得AB²/AM²=BM²/MN²
即16/(16+BM²)=BM²/[(4-BM)²+CN²]
∴BM²(16+BM²)=16[(4-BM)²+CN²]
BM=x,CN=x(4-x)/4
∴x²(16+x²)=16[(4-x)²+x²(4-x)²/16]
x²(16+x²)=(4-x)²(16+x²)
解得x=2
即M点运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN
此时x=2