Question

如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD大于AB，设角ABD=a，已知sina是方程25x²-35x+12=0的一个实根，点E,F分

BC,DC上的点，EC+CF=8，设BE=x△AEF的面积等于y
（1）求出y与x之间的函数关系式
（2）当E,F两点在什么位置时，y有最小值？并求出这个最小值

Answer 1

(1)解方程 25x2-35x+12=0
(5x)^2-7*5x+12=0
(5x-7/2)^2-(7/2)^2+12=0
(5x-7/2)^2=1/4
5x=7/2±/12
x1=4/5,x2=3/5
sina为方程的一个实根，而
sina=AD/BD
因为AD>AB,所以sina=4/5,则AD=16，AB=12
在RT△ABE中，AE^2=BE^2+AB^2=x^2+12^2
在RT△CEF中,EF^2=CE^2+CF^2=(16-x)^2-CF^2,
在RT△ADF中,AF^2=AD^2+DF^2=16^2+(12-CF)^2
连结BF。△AEF的面积
y=1/2*AB*AD+1/2BE*CF
=1/2*12*16+1/2x*CF
=96+1/2x*CF
CF+CE=8,CE=16-x,所以CF=8-CE=8-(16-x)=x-8
y=96+1/2x(x-8)=1/2x^2-4x+96

（2）y=1/2x^2-4x+96=1/2(x^2-8x)+96=1/2(x-4)^2-1/2*4^2+96=1/2(x-4)^2+88
以A点为原点，AB边为x轴，AD边为y 轴。
当经x=4时，y有最小值88。
所以，BE=4，CF=4,->DF=CD-CF=12-4=8.
故E的座标为(12,4),F的座标为(8,16).,y 的最小值是88

Answer 2

25x2-35x+12=0
(5x-3)(5x-4)=0
∴x=0.6 or 0.8
∵AD大于AB，设角ABD=a
∴45°<a<90°
又sina是方程25x2-35x+12=0的一个实根
∴sina=0.8 又BD=20 ∴ AD=16 AB=12
(1)BE=x CE=16-x CF=x-8 DF=20-x
∴y=16*12-12x/2-(16-x)(x-8)/2-16(20-x)/2
=96+(x^2-20x)/2
=46+(x-10)^2/2 (8≤x≤16)
(2)x=10时，y有最小值46
此时 CE=6 CF=2