Question

设f（x）=x+2∫f(t)dt,积分上限是1，下限是0 其中f（x）为连续函数，求f（x）

这题是我书上的题，我一看就恶心，f（x）都告诉你了 还求个什么玩意，但是就让求了 没办法，答案不重要 我就听清晰的思路和过程，文字叙述也行，我在线静等!谢谢啦。

Answer 1

令A=∫f(t)dt,

那么f(x)=x+2A，将这个式子两边从0到1积分，可得

A=2A+1/2

那么移项再合并同类项，

可得A=-1/2

带入f(x)=x+2A=x-1

那么f(x)=x-1

Answer 2

因为∫f(t)dt,积分上限是1，下限是0 是个常数，对吧
所以设A=∫f(t)dt,积分上限是1，下限是0
则f(x)=x+A
A=f(x)-x
所以
f(x)=x+2∫f(t)dt
=x+2∫(t+A)dt
=x+2*(t^2/2+At)(1,0)
=x+2*(1/2+A)
=x+1+2A
=x+1+2(f(x)-x)
=x+1+2f(x)-2x
=2f(x)-x+1
所以
f(x)=x-1

Answer 3

就是让你求∫f(t)dt这个东西嘛
设F（x）的导函数为f(x)
根据积分性质∫f(t)dt=F（1）-F（0）
所以f（x）=x+2F（1）-2F(0)=F撇(x)
通过x+2F（1）-2F(0)这个可以逆推出：F（x）=x方/2 +(2F(1)-2F(0))x
然后令x=0，可以解出F（0)=0
令x=1，得：F（1）=-1/2
所以∫f(t)dt=F（1）-F（0）=-1/2
所以f（x）=x-1/2

Answer 4

可以使用迭代，将f（x）带入积分中，可以得到f（x）=x+2∫f(t)dt=x+2*1/2+4∫f(t)dt
可以求得∫f(t)dt=-1/2，带入式子中得到，f（x）=x-1
其中的t是一个无所谓的东西，定积分是一个数，这一点要记住，可以是t,也可以是a，无所谓的。