Question

帮忙解一道数学概率题。O(∩_∩)O谢谢啦

一袋中装有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时，摸到黑球的概率是多少?
答案：1-（1-1/N）^(k-1) 1/N （提示：用对立事件求）

书上就是这样写的 希望会的人帮我解答一下 写下思路 谢谢！

Answer 1

你应该这样理解，摸到黑球的对立时间就是摸到白球，P(Black)+P(White)=1
什么情况才能使第K次摸到白球呢， 就是只有在前面k-1次中全部摸到黑球的情况下才有可能发生
即(1-1/N)^(k-1),然后第k次的时候摸到白球即(1-1/N)^(k-1)*(1/N),最后用上面的公式得到1-(1-1/N)^(k-1)*(1/N)即摸到黑球的概率了

Answer 2

对立事件可以表达为第k次摸球时，摸到白球的概率，记为P1
则第k次摸球时，摸到白球的概率，即为1-P1
P1可以这样计算：
如果前k-1次摸到过白球，则第k次全是黑球，摸到白球的概率为0
如果前k-1次没摸到过白球，则第k次，袋中仍装有N-1只黑球和1只白球，摸到白球的概率为1/N
所以P1=((N-1)/N)^(k-1)*(1/N)
乘式中第一项为前k-1次没摸到过白球的概率，第二项为第k次摸到白球的概率
所以得到1-P1即为书中答案的形式
不知道我这样讲你明白了没

Answer 3

第K次摸球，不是摸到白球，就是黑球，先算出摸白球的概率，用1去减，就得到黑球的概率了。(这就是用对立事件求了)
要在第K次摸球时，摸到白球，那么前(k-1)次都要摸黑球，不然白球就被换了，没有白球了。
所以前(k-1)次都要摸黑球的概率：(1-1/N)^(k-1)
所以第k次摸白球的概率：(1-1/N)^(k-1) * 1/N
所以第k次摸黑球的概率：1 - (1-1/N)^(k-1) * 1/N

Answer 4

直接求摸黑球概率比较困难，因为摸得白球和摸到黑球是对立事件，可以先求地k次摸到白球的概率，1减去摸到白球概率就是第k次摸到黑球的概率
总球数是N-1+1=N，因为在摸球的过程中每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球所以袋子中的球至始至终都是N个
第1次摸到白球的概率：1/N
第2次摸到白球的概率：（1-1/N）×1/N（为了保证第2次能摸到白球，那么第一次摸到的必须是黑球）
第3次摸到白球的概率：（1-1/N）×（1-1/N）×1/N
第4次摸到白球的概率：（1-1/N）×（1-1/N）×（1-1/N）×1/N
.....
第K次摸到白球的概率：（1-1/N）^(k-1) 1/N
那么第K次摸到黑球的概率是1-（1-1/N）^(k-1) 1/N

Answer 5

第K次抽到白球的概率是（1-1/N）^(k-1) *1/N
即前K-1次都抽黑球 第K次抽白球（否则一定抽黑球）
所以第K次抽黑球的概率是1-（1-1/N）^(k-1) *1/N

Answer 6

1楼回答应该能帮助楼主理解了,我也就不啰嗦了