Question

数学高手来帮忙(自然数a的各数位的数字之和等于7…)

自然数a的各数位的数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的“吉祥数”从大到小排成一列：a(1)、a(2)、a(3)、…,a(n),…,a5n，…。
若a(n)=2005，则a(5n)为多少？

各位数学高人老师，请帮个忙吧！谢谢了！！

Answer 1

这个得找规律了。

1位数：只有1个
2位数：个位可以从0到6，7个

3位数：
首位为1时，个位可以从0到6，7个
首位为2时，个位可以从0到5，6个
。。。
首位为7时，个位可以从0到0，1个

4位数：

前2位为10时，个位可以从0到6，7个
前2位为11时，个位可以从0到5，6个
。。。
前2位为16时，个位可以从0到0，1个

前2位为20时，个位可以从0到5，6个
前2位为21时，个位可以从0到4，5个
。。。
前2位为25时，个位可以从0到0，1个

。。。

前2位为70时，个位可以从0到0，1个

可以看出，3位数时有如下数列：
C3:1 2 ... 7
4位数时有如下数列：
C4:1 (1+2) ... (1+2+...+7)

数列C4的通项式是数列C3的前n项和
同理可知，5位数的数列C5将是数列C4的前n项和，
数列C3的前n项和为：S3=n(n+1)/2,(n=1,2,...,7)
数列C4的前n项和为：
S4=[1*2+2*3+...+n(n+1)]/2
=[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]/2
=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2
=n(n+1)(n+2)/6,(n=1,2,...,7)

数列C5的前n项和为：
S5=[1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)]/6
=[2*(2^2-1)+3*(3^2-1)+...+(n+1)*((n+1)^2-1)]/6
=[(2^3+3^3+...+(n+1)^3)-(2+3+...+(n+1))]/6
=[(1+2+...+(n+1))^2-1-(2+3+...+(n+1))]/6
=n(n+1)(n+2)(n+3)/24,(n=1,2,...,7)

看规律可以知道，数列C6的前n项和为：
S6=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/120,(n=1,2,...,7)

综上可知，2005是第N=1+7+2*(1+2+...+7)+1=65项
现在找第5N=5*65=325项。
S1=1
S2=7
当n=7时，S3=28，显然第5N项不是3位数
当n=7时，S4=84，显然第5N项不是4位数
当n=7时，S5=210，S1+S2+...+S5=330>325，
所以第5N项是5位数，并且是倒数第6个，即52000。