Question

已知[(a-b)(b-c)(c-a)]/[(a+b)(b+c)(c+a)]=5/132,求a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)的值

详细过程

Answer 1

解：
由已知变形，得
(a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(c+a)=5/132
-(a-b)/(a+b)-(b-c)/(b+c)-(c-a)/(c+a)=-5/132
(b-a)/(a+b)+(c-b)/(b+c)+(a-c)/(c+a)=-5/132
(b+a-2a)/(a+b)+(c+b-2b)/(b+c)+(a+c-2c)/(c+a)=-5/132
1-2a/(a+b)+1-2b/(b+c)+1-2c/(c+a)=-5/132
-2a/(a+b)-2b/(b+c)-2c/(c+a)=-5/132-3=-401/132
所以：a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)=401/264。

另一解法
取a=0
则得到(b-c)/(b+c)=5/132=k
而b/(b+c)=(k+1)/2
所求式m=1+b/(b+c)=(k+3)/2
猜想上式成立
2m-3=a/(a+b)+b/(b+c)+c/(a+c)-b/(a+b)-c/(b+c)-a/(a+c)=(a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(a+c)=k
令x=(a-b)/(a+b) y=(b-c)/(b+c) z=(c-a)/(c+a)
则2m-3=x+y+z=k=xyz
实际上 x+y+z=[(a-b)(b+c)(a+c)+(b-c)(a+c)(a+b)+(c-a)(a+b)(b+c)]/(a+b)(b+c)(c+a)
分母=(a+c)((a-b)(b+c)+(b-c)(a+b))+(c-a)(a+b)(b+c)=2b(a+c)(a-c)+(c-a)(a+b)(b+c)=(a-b)(b-c)(c-a)
所以得证
即所求=(5/132+3)/2=401/264

追问

这个答案不对
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)=1/2{[(a-b)+(a+b)]/(a+b)+[(b-c)+(b+c)]/(b+c)+[(c-a)+(c+a)]/(c+a)}
即：
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)=1/2[（a-b)/(a+b)+（b-c)/(b+c)+（c-a)/(c+a)]+3/2
而：
（a-b)/(a+b)+（b-c)/(b+c)+（c-a)/(c+a)
通分得：
（a-b)/(a+b)+（b-c)/(b+c)+（c-a)/(c+a)=-(a-b)(b-c)(c-a)/(a+b)(b+c)(c+a)=-5/132
所以：
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)=-1/2*5/132+3/2=391/264
详细过程是什什么

追答

我仔细算下：391/264是正确答案。
把a拆开： a=(a-b+a+b)/2
构造出
a/(a+b)=1/2[(a-b)/(a+b)+(a+b)/(a+b)]
=1/2[(a-b)/(a+b)]+1/2

每项都这样拆开。
得到
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)=1/2[（a-b)/(a+b)+（b-c)/(b+c)+（c-a)/(c+a)]+3/2
后来就是通分的事了。

抱歉原来两个拷贝来的不对。
我用计算机编程算下来是：1.4810606 =391/264，说明计算正确。