Question

用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)

Answer 1

1 n=1时，左边=（2*1-1）^2-2^2=-3
右边=-1（2*1+1）=-3=左边
2 当n=k时，假设等式成立，左边=右边，
即 1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2k-1)^2-(2k)^2=-k(2k+1)
那么当n=k+1时，左边=1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2k-1)^2-(2k)^2+(2k+1)^2-(2k+2)^2=-k(2k+1)+(2k+1)^2-(2k+2)^2=-2k^2-k+4k^2+4k+1-4k^2-8k-4=-2k^2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=右边
即 当n=k+1时等式也成立。
3 命题得证

Answer 2

证明：
(1)当n=1时，2^2=2*（1+1）*（2+1）/3=4,等式显然成立
（2）假设n=k时，等式成立，即2^2+4^2+......+(2k)^2=2k(k+1)(2k+1)/3
当n=k+1时，
2^2+4^2+......+(2k)^2+(2k+2)^2
=2k(k+1)(2k+1)/3+(2k+2)^2
=4/3*k^3+2k^2+2/3*k+4k^2+8k+4
=2/3*(2k^3+3k^2+6k^2+9k+4k+6)
=2/3*[2k(k^2+3k+2)+3(k^2+3k+2)]
=2/3*(k^2+3k+2)(2k+3)
=2/3(k+1)(k+2)(2k+3)
所以当n=k+1时等式也成立
综上，可知对任意正整数n,等式2^2+4^2+..+(2n)^2=2n(n+1)(2n+1)/3均成立

Answer 3

因为(2n)^2 - (2n-1)^2 = 4n - 1
所以左端= - [ 3 + 7 + ... + (4n-1) ] = -n(2n+1)

Answer 4

1^2-2^2+3^2-4^2+.....+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)
-[ 3+7+...+(4n+1)]=-n(2n+1)