Question

求证：根号5是无理数

求证：根号5是无理数

要有证明的格式

Answer 1

证明：√5是无理数。 

设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1。

两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*) 

p^2含有因数5，设p=5m 

代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2 

q^2含有因数5，即q有因数5，这样p,q有公因数5。

这与假设p,q最大公约数为1矛盾， √5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，
所以√5不是有理数而是无理数。

扩展资料：

无理数：

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

参考资料来源：百度百科－无理数

Answer 2

证明：可以用‘反证法’来证明：
假设√5是有理数，那么它一定可以用一个最简的既约分数a/b表示，
√5=a/b
两边同时平方，得
5=a^2/b^2
得：a^2=5b^2，
由此可见，a是5的倍数，于是设a=5k，则有
(5k)^2=5b^2
25k^2=5b^2
得：b^2=5k^2，
也就是说b也是5的倍数，
综上，a、b都是5的倍数，那么a/b就不是最简分数了，与假设矛盾，
因此，根号5不是有理数，必定是无理数。

Answer 3

假设根号5是有理数，
设根号5=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5整除（反证法可以证得：如果p不能被5整除,则p^2也不能被5整除，得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p与q有公因子5。
这与p,q互质相矛盾
从而证明了根号5为无理数。

Answer 4

证明：可以用‘反证法’来证明：
假设√5是有理数，那么它一定可以用一个最简的既约分数a/b表示，
√5=a/b
两边同时平方，得
5=a^2/b^2
得：a^2=5b^2，
由此可见，a是5的倍数，于是设a=5k，则有
(5k)^2=5b^2
25k^2=5b^2
得：b^2=5k^2，
也就是说b也是5的倍数，
综上，a、b都是5的倍数，那么a/b就不是最简分数了，与假设矛盾，
因此，根号5不是有理数，必定是无理数。