一道数学立体几何

如图所示,在正方体中,E为AB的中点,若F在AA1上运动时(F与A、A1不重合),求当半平面D1EF与半平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比.不要用空间向量我需... 如图所示,在正方体中,E为AB的中点,若F在AA1上运动时(F与A、A1不重合),
求当半平面D1EF与半平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比.

不要用空间向量 我需要详解 谢谢
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zqs626290
2011-03-01 · TA获得超过3.1万个赞
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【1】不妨设正方体棱长=2.
设线段EF在平面CDD1C1内的射影为E1F1.易知,EF‖E1F1.
在平面CDD1C1内,过点D1作D1G‖E1F1,交DC的延长线于点G.
连接EG.由题设可知,二面角D—EG—D1的大小为45º。
在平面AC内,作DH⊥CE于点H,连接D1H.
易知,∠D1HD=45º. ∴DH=DD1=AD=2..
∴Rt⊿ADE≌Rt⊿HDE.
∴EH=AE=1.
在平面AC内,过点G作GK⊥AE,交AE的延长线于点K.
易知,Rt⊿KEG≌Rt⊿HGD.
【2】可设AF=DF1=x,由⊿DE1F1∽⊿DGD1可知,DG=EG=2/x.
∴在Rt⊿HDG中,DH=2,HG=(2/x)-1,DG=2/x.
∴由勾股定理可知,x=AF=4/5.A1F=2-(4/5)=6/5.
∴A1F∶FA=(6/5) ∶(4/5)=3∶2.
liusea95
2011-03-01 · TA获得超过636个赞
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同学,看我们怎么把它变成平面几何吧,

首先,不妨设正方体边长为单位1(便于计算),

因为平面D1EF与平面ADE成π/4的角,则二面角正切值为1,

注意AA1,无论如何变,它总是1,那么,显然D到两个平面交线距离应为1,

好,现在变成平面几何了!

以D为原点,DG、DC分别为x轴、y轴建立直角坐标系,构建单位圆x²+y²=1,

各点坐标如图,

那么两个平面交线就是过E(1,1/2)的圆的切线,

设切点P(x1,y1),则切线方程为x1x+y1y=1,代入E解得P(3/5,4/5),则可得直线方程为

3x+4y-5=0,继而得到直线与AD线交点G(5/3,0),

而△FA1D1∽△FAG,故A1F:AF=(5/3-1):1=3:2。

所以线段A1F与FA的比为3:2。

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okcd00
2011-02-28 · TA获得超过354个赞
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D1EF平面与ADE成∏/4,因为ADE‖A1B1C1D1,故D1EF平面与A1B1C1D1成∏/4。设A1F=X,FA=1,AB=1+X。设BF交A1B1于K,连接KD1,过A1作A1H⊥KD1,连接FH。则角FHA1=∏/4。A1H=X。AE‖KA1,可求KA1=(1+X)X/2。直角三角形KA1D1中,A1H为斜边的高,有1/A1K^2+1/A1D1^2=1/A1H^2,得X=2/3
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luomuqinghan13
2011-02-28
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过点D1做D1G平行于EF交CD于G,连接EG
成π/4角时角D1GD为45°
点G与点C重合
EF平行CD1
1:1
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数学贾老师
2011-02-28 · TA获得超过6462个赞
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