Question

一道数学立体几何

如图所示，在正方体中，E为AB的中点，若F在AA1上运动时（F与A、A1不重合），
求当半平面D1EF与半平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比.

不要用空间向量 我需要详解 谢谢

Answer 1

【1】不妨设正方体棱长=2.
设线段EF在平面CDD1C1内的射影为E1F1.易知，EF‖E1F1.
在平面CDD1C1内，过点D1作D1G‖E1F1，交DC的延长线于点G.
连接EG.由题设可知，二面角D—EG—D1的大小为45º。
在平面AC内，作DH⊥CE于点H,连接D1H.
易知，∠D1HD=45º. ∴DH=DD1=AD=2..
∴Rt⊿ADE≌Rt⊿HDE.
∴EH=AE=1.
在平面AC内，过点G作GK⊥AE，交AE的延长线于点K.
易知，Rt⊿KEG≌Rt⊿HGD.
【2】可设AF=DF1=x,由⊿DE1F1∽⊿DGD1可知，DG=EG=2/x.
∴在Rt⊿HDG中，DH=2，HG=(2/x)-1,DG=2/x.
∴由勾股定理可知，x=AF=4/5.A1F=2-(4/5)=6/5.
∴A1F∶FA=(6/5) ∶(4/5)=3∶2.

Answer 2

同学，看我们怎么把它变成平面几何吧，

首先，不妨设正方体边长为单位1（便于计算），

因为平面D1EF与平面ADE成π/4的角，则二面角正切值为1，

注意AA1,无论如何变，它总是1，那么，显然D到两个平面交线距离应为1，

好，现在变成平面几何了！

以D为原点，DG、DC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，构建单位圆x²+y²=1，

各点坐标如图，

那么两个平面交线就是过E（1，1/2）的圆的切线，

设切点P（x1,y1），则切线方程为x1x+y1y=1，代入E解得P（3/5,4/5），则可得直线方程为

3x+4y-5=0，继而得到直线与AD线交点G（5/3,0），

而△FA1D1∽△FAG，故A1F：AF=（5/3-1）：1=3:2。

所以线段A1F与FA的比为3:2。

Answer 3

D1EF平面与ADE成∏/4，因为ADE‖A1B1C1D1，故D1EF平面与A1B1C1D1成∏/4。设A1F=X，FA=1，AB=1+X。设BF交A1B1于K，连接KD1，过A1作A1H⊥KD1，连接FH。则角FHA1=∏/4。A1H=X。AE‖KA1，可求KA1=（1+X）X/2。直角三角形KA1D1中，A1H为斜边的高，有1/A1K^2+1/A1D1^2=1/A1H^2,得X=2/3

Answer 4

过点D1做D1G平行于EF交CD于G，连接EG
成π/4角时角D1GD为45°
点G与点C重合
EF平行CD1
1：1

Answer 5

3:2