Question

已知圆C于两坐标轴都相切,圆心C到直线Y=-X的距离等于√2

1.求圆C的方程
2.若直线L：x/m+y/n=1
(m>2，n>2)与圆c相切.求证:m＊n≥6＋4√2
3.圆心在y轴上且通过（3,1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是？

Answer 1

(1)已知圆C于两坐标轴都相切, 可知 圆心 在 y=x 或者 y=-x 直线上
条件2： 圆心C到直线Y=-X的距离等于√2 那么 可以知道 圆心 肯定不在y=-x上
那么 圆心就在 y=x 上 设 圆心为 (a,a) 半径R= a的绝对值
a^2+a^2=√2 *√2 a=±1
圆C方程 （x-1）^2+(y-1)^2=1 或 （x+1）^2+(y+1)^2=1

（2） 若直线L：x/m+y/n=1 (m>2，n>2)与圆c相切.，直线与X轴交点 （0 ，m)
y轴交点 （n, 0)
圆C在 第一象限 （x-1）^2+(y-1)^2=1
m*n=直线l与坐标轴组成的三角形的 面积的2倍， 当m=n 时 m*n 最小
此时 m=n= (1+√2)*√2=2+√2， m*n=（2+√2）*（2+√2）=6+4√2
所以m*n≥6+4√2

（3）.圆心在y轴上的圆与x轴相切 ，设圆心坐标 （0，b) 半径为 b的绝对值
方程是 x^2+(y-b)^2=b^2 过点（3,1） 把坐标代入
9+（1-b）^2=b^2 b=5
圆的方程为 x^2+(y-5)^2=25

Answer 2

1，由题意知，圆心C在直线：y=x上，故设圆心C(a，a)，
又圆心C到直线Y=-X的距离等于√2 ，所以
|a+a|/√(1^2+1^2)=√2， |2a|=2，所以 a=1，或a=-1，
故C(1，1)，或C(-1，-1)，
圆C与两坐标轴都相切，所以圆的半径：r=1，
故圆C：(x-1)^2+(y-1)^2=1，或(x+1)^2+(y+1)^2=1。
2，直线L：x/m+y/n=1，与圆C相切，即C到直线的距离等于半径。
因为m>2，n>2，所以直线L与圆C相切与第一象限，
所以圆心为C(1，1)，
|1/m+1/n-1|/√(1/m^2+1/n^2)=1，
|1/m+1/n-1|=√(1/m^2+1/n^2)，
|1/m+1/n-1|^2=(1/m^2+1/n^2)，
2/mn=2/m+2/n-1，
所以mn=2(m+n)-2>=4√(mn)-2， (因为m>2>0，n>2>0)
[√(mn)]^2-4√(mn)+2>=0，
由求根公式，知：
√(mn)>=2+√2，或 √(mn)<=2-√2， (因为m>2，n>2，所以舍去)
所以 mn>=(2+√2)^2=6+2√2。
3，据题意设圆心(0，b)，圆与x轴相切，则半径为：r=|b|，
所以圆的方程为：x^2+(y-b)^2=b^2，
过点(3，1)，代入坐标，得：9+(1-b)^2=b^2，
2b=10，b=5，
所以该圆的方程是：x^2+(y-5)^2=25。