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证：
n=1时，左=3^0=1，右=(3^1-1)/2=(3-1)/2=1，左=右，等式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，等式成立，即
1+3+9+...+3^(k-1)=(3^k-1)/2
则当n=k+1时
1+3+9+...+3^k
=1+3+9+...+3^(k-1)+3^k
=(3^k-1)/2+3^k
=(3^k-1+2×3^k)/2
=(3×3^k-1)/2
=[3^(k+1)-1]/2
等式同样成立。
因此1+3+9+…+3^(n-1)=1/2(3^n-1)
n=1时，左=3^0=1，右=(3^1-1)/2=(3-1)/2=1，左=右，等式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，等式成立，即
1+3+9+...+3^(k-1)=(3^k-1)/2
则当n=k+1时
1+3+9+...+3^k
=1+3+9+...+3^(k-1)+3^k
=(3^k-1)/2+3^k
=(3^k-1+2×3^k)/2
=(3×3^k-1)/2
=[3^(k+1)-1]/2
等式同样成立。
因此1+3+9+…+3^(n-1)=1/2(3^n-1)
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