Question

高二数学题、帮忙！！！

（1）一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在原点，求这个三角形的面积。
（2）已知点A（3,2），点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线上，求｜PA｜+｜PF｜的最小值。
（3）若抛物线y2=-2px（p〉0）上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标。

Answer 1

1,设OA、OB分别是正三角形的两腰,
根据正三角形、抛物线的对称性,直线OA为:y=xtg30度,OB为:y=xtg(-30度);
由方程组[y^2=4x, y=xtg30度]
解得A点坐标:x=12, y=4根号3。
因此三角形OAB面积=2×(1/2xy)=48根号3。

2,A在抛物线内部
则过A做AB垂直准线x=-1
和抛物线交点是C

由抛物线定义，PF=P到准线距离
在抛物线上任取一点P，做PD垂直准线
画图可以看出
显然PD+PA>AB
所以当P和C重合时|PA|+|PF|最小
此时P纵坐标和A相等
y=2,x=y^2/4=1
所以P(1,2)
｜PA｜+｜PF｜的最小值=2+2=4

3,y^2=-2px
则它的准线是x=p/2
由抛物线定义
M到焦点距离等于到准线距离
M横坐标为-9
所以M到准线距离=|-9-p/2|=9+p/2=10
p=2
所以y^2=-4x

x=-9,y^2=-4*(-9)=36
所以M(-9,6),或(-9,-6)