Question

如图,在五边形ABCDE中, ∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE,AM⊥CD于M。试说明M为CD的中点

如图,在五边形ABCDE中, ∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE,AM⊥CD于M。试说明M为CD的中点

Answer 1

连结BE，易证四边形BCDE为等腰梯形（为不打断答题证明过程后边补上）
从而角BED=角EBC（等腰梯形性质）
从而角AEB=角ABE（用大角B=大角E减去角BED=角EBC）
故三角形AEB是等腰三角形（A为顶点）,故AE=AB
连结AD、AC
三角形AED与三角形ABC全等（边角边AE=AB,大角E=大角B，DE=BC）
从而AD=AC，三角形ADC为等腰三角形，CD为底边，AM垂直CD
故M为底边中点

补充：
证明四边形BCDE为等腰梯形（假设BE比CD长，若相反证明类似）
分别过B、E作CD垂线分别交CD所在直线于F,G。容易证明直角三角形DEG与直角三角形BCF全等，继而EG=BF，故BE平行于CD

Answer 2

延长AB,AE 分别与CD交于G,H两点
∵∠B=∠E
∴∠GBC=∠DEH,
∵∠C=∠D
∴∠BCG=∠EDH
又∵BC=DE（ASA）
∴△BCG≌EDH
∴∠G=∠H
∴AG=AH
∴AG=AH
∴M为的CD中点

Answer 3

延长AB,AE 分别与CD交于G,H两点，∠B=∠E，所以   ∠GBC=∠DEH,因为∠C=∠D，所以∠BCG=∠EDH, 又因为BC=DE，根据角边角    所以三角形BCG全等于EDH,所以∠G=∠H,所以AG=AH.所以AG=AH,所以AM为GH的中点及为CD的中点

Answer 4

延长AB,DC交于F，延长AE,CD交于G
因为∠B=E,∠C=∠D
所以∠FBC=∠GED,∠FCB=∠GDE
所以∠F=∠G
所以三角形FAG为等腰三角形
所以FM=GM
又∠FBC=∠GED,∠FCB=∠GDE，BC=DE
所以三角形FBC全等于三角形
所以FC=GD
又FM=GM
所以MC=MD
所以M为CD中点