Question

如图，AB‖CD，直线EF分别交AB,CD于M.P，MN.PQ分别平分∠AME和∠DPF，求证：MN‖PQ.

Answer 1

三角形内角和定理证明中化归思想的渗透

所谓化归思想，就是在面临新问题时，总企图将它转化归结为已经解决了的问题或者比较熟悉的问题来解决。初中数学尤其是几何教学中，很多问题都可以用运化归思想来解决。

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等干180°．

已知：△ABC(如图1).求证：∠A+∠B+∠C=180°．

三角形内角和定理有多种证明方法，那么，这些证法都是怎样想到的呢?我们下面来作一下分析，

思路一 要证明三角形的三个内角之和等于180°，联想到平角的大小是180°．因此，便设法将三角形的三个内角拼成一个平角，为此，用辅助线构造出一个平角，再用辅助线(平行线)"移动"内角，将其集中起来，或用其它方法将其集中起来，这就是"拼角"的思路.

“移动内角(或用其它方法)”把三角形的三个内角拼成一个平角

根据这个思路，可设计出多种证法，证法如下：

证法一 延长边BC，CD是延长线，并过顶点C作CE‖BA（如图2），则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180° (平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°.

证法二 过顶点C作DE‖AB(如图3)，则∠1＝∠A，∠2＝∠B(两直线平行，内错角相等)．

又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

证法三在BC边上任取一点D，作DE‖BA，DF‖CA，分别交AC于E，交AB于F(如图4)，则有∠2＝∠B，∠3＝∠C(两直线平行，同位角相等)，

∠1＝∠4(两直线平行，内错角相等)，

∠4＝∠A(两直线平行，同位角相等)，

∴∠1＝∠A(等量代换).

又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠C＝180°.

证法四 作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画∠1＝∠A(如图5)，于是CE‖BA(内错角相等，两直线平行).

∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

证法五 在△ABC的内部任取一点D，连结AD、BD，并延长分别交边BC、AC于点E、F，再连结CD(如图6)，则有∠7=∠1+∠2，∠8＝∠3+∠4，∠9=∠5+∠6(三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定义)，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°．

思路二 我们知道，平行线的同旁内角之和为180°，那么，能否将三角形的三个内角拼成平行线的一组同旁内角呢?

根据这一思路，也可以设计出多种证法，证法如下：

证法六 过顶点C作CD‖BA(如图7)，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)．

∵CD‖BA.

∴∠1+∠ACB+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°.

证法七 任作射AD交BC于D，分别过点B、C作BE‖DA，CF‖DA(如图8)，则有∠1＝∠3，∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等).

∵BE‖DA，CF‖DA，

∴BE‖CF.

∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2＝180°.

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°.

上面两种证明思路，都是化归思想的体现．这种思想是一种重要的解题策略，它可以帮助我们确定思考的方向

Answer 2

因为， AB‖CD ，
所以，
∠AMF=∠DPE （两直线平行，内错角相等），
∠AME=∠CPE （两直线平行，同位角相等）。
因为，∠DPF=∠CPE （对顶角相等），
所以，∠AME=∠DPF 。
因为，∠AMN=(1/2)∠AME，∠DPQ=(1/2)∠DPF ，
所以，∠AMN=∠DPQ 。
可得：∠AMF + ∠AMN = ∠DPE + ∠DPQ ，
即 ：∠FMN=∠EPQ ；
所以，MN‖PQ （同位角相等，两直线平行）。

Answer 3

三角形内角和定理证明中化归思想的渗透

所谓化归思想，就是在面临新问题时，总企图将它转化归结为已经解决了的问题或者比较熟悉的问题来解决。初中数学尤其是几何教学中，很多问题都可以用运化归思想来解决。

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等干180°．

已知：△ABC(如图1).求证：∠A+∠B+∠C=180°．

三角形内角和定理有多种证明方法，那么，这些证法都是怎样想到的呢?我们下面来作一下分析，

思路一 要证明三角形的三个内角之和等于180°，联想到平角的大小是180°．因此，便设法将三角形的三个内角拼成一个平角，为此，用辅助线构造出一个平角，再用辅助线(平行线)"移动"内角，将其集中起来，或用其它方法将其集中起来，这就是"拼角"的思路.

“移动内角(或用其它方法)”把三角形的三个内角拼成一个平角

根据这个思路，可设计出多种证法，证法如下：

证法一 延长边BC，CD是延长线，并过顶点C作CE‖BA（如图2），则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180° (平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°.

证法二 过顶点C作DE‖AB(如图3)，则∠1＝∠A，∠2＝∠B(两直线平行，内错角相等)．

又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

证法三在BC边上任取一点D，作DE‖BA，DF‖CA，分别交AC于E，交AB于F(如图4)，则有∠2＝∠B，∠3＝∠C(两直线平行，同位角相等)，

∠1＝∠4(两直线平行，内错角相等)，

∠4＝∠A(两直线平行，同位角相等)，

∴∠1＝∠A(等量代换).

又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠C＝180°.

证法四 作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画∠1＝∠A(如图5)，于是CE‖BA(内错角相等，两直线平行).

∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

证法五 在△ABC的内部任取一点D，连结AD、BD，并延长分别交边BC、AC于点E、F，再连结CD(如图6)，则有∠7=∠1+∠2，∠8＝∠3+∠4，∠9=∠5+∠6(三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定义)，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°．

思路二 我们知道，平行线的同旁内角之和为180°，那么，能否将三角形的三个内角拼成平行线的一组同旁内角呢?

根据这一思路，也可以设计出多种证法，证法如下：

证法六 过顶点C作CD‖BA(如图7)，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)．

∵CD‖BA.

∴∠1+∠ACB+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°.

证法七 任作射AD交BC于D，分别过点B、C作BE‖DA，CF‖DA(如图8)，则有∠1＝∠3，∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等).

∵BE‖DA，CF‖DA，

∴BE‖CF.

∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2＝180°.

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°.

上面两种证明思路，都是化归思想的体现．这种思想是一种重要的解题策略，它可以帮助我们确定思考的方向

Answer 4

把角标出来

Answer 5

证明：（1）∵AB‖CD,直线EF分别交AB、CD于M、P
∴∠AME=∠DPF
∵MN、PQ分别平分∠AME和∠DPF
∠AMN=½∠AME；∠DPQ=½∠DPF
∴∠AMN=∠DPQ
（2）延长NM至N′，QP至Q′，
∵∠AME、∠BMF为对顶角，∠CPE、∠DPF为对顶角
∴NN′、QQ′分别平分∠BMF、∠DPF
∴∠NME=∠Q′PE
∴MN‖PQ（内错角相等）