Question

初一奥数

如图，已知DE平分∠ADC，BE平分∠CBA
（1）若∠A=40°，∠C=30°，求∠E的度数
（2）∠A=α，∠E=β，∠C=γ，找出α、β和γ的关系

Answer 1

1)连接BD
△ABD中，180°-∠A=∠ADB+∠ABD=2∠EDC+∠CDB+∠ABD①
△BCD中，180°-∠C=∠CDB+∠DBC=2∠EBA+∠CDB+∠ABD②
②-①得∠A-∠C=2(∠EBA-∠EDC),∴∠EBA=∠EDC+5°
△BDE中，∠E=180°-∠EDB-∠EBD
=180°-(∠EDC+∠CDB+∠EBA+∠ABD)
=180°-(2∠EDC+5°+∠CDB+∠ABD)
=180°-（180°-∠A+5°）
=∠A-5°
=35°
2）连接BD
△ABD中，180°-∠A=∠ADB+∠ABD=2∠EDC+∠CDB+∠ABD①
△BCD中，180°-∠C=∠CDB+∠DBC=2∠EBA+∠CDB+∠ABD②
②-①得∠A-∠C=2(∠EBA-∠EDC),∴∠EBA=∠EDC+(∠A-∠C)/2
△BDE中，∠E=180°-∠EDB-∠EBD
=180°-(∠EDC+∠CDB+∠EBA+∠ABD)
=180°-[2∠EDC+(∠A-∠C)/2+∠CDB+∠ABD]
=180°-[180°-∠A++(∠A-∠C)/2]
=∠A-(∠A-∠C)/2
=(∠A+∠C)/2
即β=（α+γ)/2

Answer 2

连接D和B
则有：∠A+2*EDC+∠CDB+∠ABD=180度得2*∠EDC+∠CDB+∠ABD=140度①
∠C+2*∠EBA+∠ABD+∠CDB=180度得2*∠EBA+∠ABD+∠CDB=150度②
①+②整理得2*∠EDC+2*∠EBA+2*∠ABD+2*∠CDB=290度
即∠EDC+∠EBA+∠ABD+∠CDB=145度
∠E=180-(∠EDC+∠CDB)-(∠EBA+∠ABD)=180度-145度=35度
由(1)的计算过程得β=180度-（360-α-γ）/2 再稍微整理一下结果就出来了

Answer 3

连接BD
∠ADB+∠ABD=2∠EDC+∠ABD+∠CDB
∠CBD+∠CDB=2∠EBA+∠ABD+∠CDB
∵∠A=40°
∠C=30°
∴∠ADE=∠CBE+5°
∴∠E＝180°-∠CDB-∠ABD-∠EDC-∠EBA=35°

同理β=(α+γ)÷2

Answer 4

连接BD
∠ADB+∠ABD=2∠EDC+∠ABD+∠CDB
∠CBD+∠CDB=2∠EBA+∠ABD+∠CDB
∵∠A=40°
∠C=30°
∴∠ADE=∠CBE+5°
∴∠E＝180°-∠CDB-∠ABD-∠EDC-∠EBA=35°