Question

线性代数问题。 与高数结合的，二次型部分的问题，请高手帮忙下。

Answer 1

供参考：正定矩阵是对称矩阵，正定矩阵的特征值全为正。
对称矩阵可经正交变换变成标准形，标准形的系数是该矩阵的特征值。
题中二重积分中被积函数指数位置的对象可经相应的变换变成标准形。
作为理解，比如，特殊地，A=二阶单位方阵，指数位置的对象即为 -(x^2+y^2)，
此时的二重积分可参考同济5版《高等数学》(下册)P85例5。
原题中的2个特征值不一定相同，原二重积分应做相应的变换来解。

追问

您好，我不明白的一点是，(x^2+y^2)这不是规范型吗？标准型不是还可能有系数吗？为什么就直接为1了？

追答

你好，你的追问是对的，确实由题设条件不能得出该标准形一定是规范型。
注意原回答是在以一个特殊的情况比例子，以作为理解。
正因为不一定是规范型，所以说，“原题中的2个特征值不一定相同，原二重积分应做相应的变换来解”。