Question

一道高数题，关于极限的。求Ln（1+ax）/x 的极限，x趋近于零。求Ln（1+ax）/x 的极限，x趋近于零。

尤其是求极限的函数中含有对数这一类题。。。有没有什么转换的公式。。。还有就是极限中的三角函数是不是就已经默认了x的取值是一个周期o-π？例：f（x）=arctan1/（1-x），求x趋近于1—时f（x）的极限，x趋近于1+时f（x）的极限。。。

Answer 1

对于求lim[Ln（1+ax）/x ]，只需要求(1+ax)/x的极限，
由于(1+ax)/x的极限为a，所以Ln（1+ax）/x 的极限为ln a

当x趋近于1-时，1/(1-x)趋近正无穷大，而arctan y，y趋向于正无穷大时，arctan y趋近于PI/2，所以当x趋近于1-时，arctan1/(1-x)趋近于PI/2。
当x趋近于1+时，1/(1-x)趋近负无穷大，而arctan y，y趋向于负无穷大时，arctan y趋近于-PI/2，所以当x趋近于1+时，arctan1/(1-x)趋近于-PI/2。

综上，一般的方法就是先计算函数内的极限，在讲计算后的值代入函数，得到最后的极限
另外，每个反三角函数都有固定的x的范围，比如arctan函数，x的范围是从负无穷大到正无穷大。对于普通三角函数，也是一样的。arcsin/arccos函数，x从-1到1

追问

第一：（1+ax）/x 的极限不是a，因为x是趋近于0。
第二：x趋近于0，（1+ax）/x 的极限怎么算。
第三：我写错题了。应该是求｛ln（1+ax）｝/x的极限，x趋近于0。不好意思，我勒错。
第四：当x趋近于0时，e的-x^2—1与x^2的无穷小的阶的比较。怎么计算，是不是有关于e的转换公式？

追答

那是我搞错了

第二, x趋近于0，（1+ax）/x,如果 x趋近+0,那么极限无穷大,如果x趋近-0,极限负无穷大
因为分子不为0,而分母趋于0,所以极限趋向正负无穷大

第三:{ln（1+ax）｝/x 的极限, 此时,我们会发现, 分子分母都趋向于0,那么可以上下求导数,
ln（1+ax）的导数为a/(ax+1), x 的导数为1
所以就变成了求 (a/(ax+1)) / 1的极限，当x趋向0，结果为1

第四点 e ^(-x^2) - 1趋向于0, x^2趋向于0，那么只要对它们求导
前者求导，得到-2xe ^(-x^2) ，后者求导，得到2x，还是都去趋向于0
继续求道，前者4x^2e ^(-x^2) - 2e ^(-x^2) ，极限-2；后者求导得到2，都不为0，所以无穷小的阶是一样的

第五，我说的方法仅适用于lim后面的函数单独成一项的时候，如果函数在分子分母上，那么上下极限不同时为0或同时为无穷大时才实现，你说的对数的例子是对的

第六，是因为你对反三角函数取值范围不清楚，arctan规定其结果在π/2和-π/2之间，不考虑+2nπ的情况

追问

第二：明白了。
第三：也明白了，但是答案你算错了，应该是a。呵呵
第四：也明白了，用的是洛必达法则。
第五：也明白了。
第六：也明白了。我已又复习了一遍反三角函数的定义域和值域。
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谢谢你帮我解决了这么多问题。
嗯，我没学过高数。是想升本，所以在自学高数。
我一直在修改悬赏分，可确定不了。想补充问题一样，也是一直确定不了。无奈了。。。。。。

追答

谢了！我也是老早以前学的了，难免出错，那你学起来想必会遇到很多困难，自学高等数学不容易的。那时候我们只要落一节课就听不懂了。

Answer 2

含对数的有以下一些方法：
1.ln（1+x）这种的，x->0，可以用等价无穷小代换成x
2.如果是0比0形或者无穷比无穷，而且比较容易求导的，可以用罗比达法则
一般的题目主要就是这两种方法结合着用
arctan x是个比较特殊的函数，x->正无穷时，极限是二分之pai，x->负无穷时，极限是负二分之pai

Answer 3

limLn（1+ax）/x =Ln[lim(1+ax)^(1/x)]=ln(e^a)=a