Question

急 一道高一数学题（解三角形）

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+tan A/tan B=2c/b
(1)求角A
（2）若向量m=(0,-1),向量n=（cosB,2(cos(C/2))^2)，试求|m+n|的最小值
第一题答案我已经做出来了 A=60°
第二题不会做了 希望大家帮忙 谢谢啊

Answer 1

解：（1）1+tan A/tan B=2c/b，根据正弦定理c/sinC=b/sinB，则c/b=sinC/sinB，原式可化为：
1+sinAcosB/sinBcosA=2sinC/sinB，又有sinC=sin(A+B)，所以可得到：
1+sinAcosB/sinBcosA=2sin(A+B)/sinB整理得：sinBcosA+sinAcosB=2cosAsin(A+B)，
所以2cosA=1，cosA=1/2，则∠A=60°；

（2）向量m=(0,-1),向量n=（cosB,2(cos(C/2))^2)，向量(m+n)=(cosB,2(cos(C/2))^2-1)=
(cosB,cosC)，|m+n|=根号((cosB)^2+(cosC)^2)，即求(cosB)^2+(cosC)^2的最小值。
∠C=120°-B，将其代入上式得：
(cosB)^2+[cos(120°-B)]^2=(cosB)^2+{(-cosB)/2+[(根号3)sinB]/2}^2=3/4-[(根号3)sin2B]/4，当B=45°时，其值最小为3/4-(根号3)/4，所以|m+n|得最小值为根号[3/4-(根号3)/4]

Answer 2

b-c=2acos(60°+C)=a(cosC-√3sinC)，由正弦定理得sinB-sinC=sinA*cosC-√3sinA*sinC.
sinA*cosC+cosA*sinC-sinC=sinA*cosC-√3sinA*sinC.
cosA*sinC-sinC+√3sinA*sinC=0,
cosA+√3sinA=1,
sin(30°+A)=1/2,A=30°(舍去)或A=120°。
所以A=120°。

Answer 3

切化弦，在用正弦定理把c/b换成sinc/sinB，左边通分得(sinBcosA+cosBsinA)/sinBcosA=sinC/sinBcosA,分子约掉，分母的sinB也约掉，得cosA=1/2
A=60度
二问m+n=(cosB,2(cos(C/2))^2-1)=(cosB,cosC)
求的就是根号下cosB^2+cosC^2=根号下（1+cos2B+1+cos2C)/2
用和差化积cos2B+cos2C=2cos（B+C)cos(B-C)=-1/2cos(B-C)
当B=C时取到最小值为根号下1/2