Question

数学竞赛题

对所有正整数x，k有24k/(x^3-x-2)=x成立。证明：6整除x。

Answer 1

24k=x*[(x-1)*x*(x+1)-2]
(x-1)*x*(x+1)为连续3个整数,必定为3的倍数,3的倍数-2后必定模3余1
[(x-1)*x*(x+1)-2]不可能为3的倍数,所以因子3在x中
下证x为偶数
12k=x*[(x-1)*x*(x+1)/2-1]
由于(x-1)*x*(x+1)必定为偶数,因此[(x-1)*x*(x+1)/2-1]为整数
若x为奇数,,x+1,x-1都为偶,6k=x*[(x-1)*x*(x+1)/4-1/2]其中(x-1)*x*(x+1)/4为整数,
所以[(x-1)*x*(x+1)/4-1/2]=R/2,R为奇数,
6k=xR/2,由R为奇,得到x必为偶,
综合得:x是偶数,而且是3的倍数,所以6整除x

Answer 2

24k=x*[(x-1)*x*(x+1)-2]
(x-1)*x*(x+1)为连续3个整数,必定为3的倍数,3的倍数-2后必定模3余1
[(x-1)*x*(x+1)-2]不可能为3的倍数,所以因子3在x中
下证x为偶数
若x为奇数，则x-1与x+1为偶数。又24k=x*[(x-1)*x*(x+1)-2]可得：12k=x*[(x-1)*x*(x+1)/2-1]
而（x-1)*x*(x+1)/2为偶数，因为x-1与x+1为偶数。所以[(x-1)*x*(x+1)/2-1]为奇数，x也为奇数。
所以x*[(x-1)*x*(x+1)/2-1]为奇数，而12k为偶数，奇数≠偶数，
所以12k=x*[(x-1)*x*(x+1)/2-1]矛盾。故假设不成立。即x为偶数
又因子3在x中。
所以6整除x