Question

数学竞赛题

求证：对任何整系数多项式f(x)，都有[f(7)-5]^2+[f(15)-9]^2不等于0

Answer 1

具体解释一下
假设 多项式f(x)=an x^n+...+a0 且存在 用反证法
则 就应该有f(7)=5 f(15)=9
f(7)=f(8-1)=an*(8-1)^n + a(n-1)* (8-1)^(n-1) +........a1 *(8-1) + a0
再看(8-1)^n 这个式子 不知你学过高中的像这类式子的展开式
最后 一定可以化作是一个 8^n 8^(n-1) ......8^1 和1 组成的多项式
前面的8的多少次方 都一定是8的倍数 都可以统一成 8*L1 和1组成多项式
当n为 偶数时 (8-1)^n 应为8L1 +1 同时各系数都为整数 an an-1。。。。a0
an*(8-1)^n 应为 8 *an*L1 +an = 8 * M1 +an （令an*L1 =M1 M1同样是整数）
同理 (8-1)^（n -1）应为8L2 -1
a(n-1)*(8-1)^(n-1) 应为 8 *a(n-1)*L2 - a(n-1) = 8 * M2 - an-1
那么 f(7)=f(8-1)=an*(8-1)^n + a(n-1)* (8-1)^(n-1) +........a1 *(8-1) + a0
=8*M1 +8*M2+........+8*Mn + an - an-1 +an-2 - an-3.........-a1 +a0
进一步将8的倍数统一 =8 * N1 + an - an-1 +an-2 - an-3.........-a1 +a0
（N1= M1+M2 +M3 .....+Mn 同样加出来的N1肯定是整数）
同理也可将 f(15)=f(16-1)= 16 *N2 + an - an-1 +an-2 - an-3.........-a1 +a0
将上下两式相减 f(15) - f(7) = 16*N2 - 8 *N1 =8(2*N2-N1) =9-5=4
则 2N2 - N1 =0.5 矛盾 N1 N2是整数
当n为奇数时
结果差不多 (8-1)^n 则变成了 8L1 - 1
f(7)=f(8-1)==8 * N1 -an +an-1 -an-2 + an-3.........-a1 +a0 后面有点不一样
f(15)=f(16-1)跟着变= 16 *N2 -an +an-1 -an-2 + an-3.........-a1 +a0
上下式相减 同样都可以得到f(15) - f(7) = 16*N2 - 8 *N1 =8(2*N2-N1) =9-5=4
同样可以得出矛盾

综合一下的话 对任何整系数多项式f(x)，都有[f(7)-5]^2+[f(15)-9]^2不等于0 就证明完了
楼主手打这么多字 给分吧 看不懂可以再问

Answer 2

f(x)=anx^n+...+a0
f(7)=5
f(15)=9

追问

？我这是证明题。。

追答

反证法，若存在，则必有上两式，即：
f(7)=f(8-1)=8k1+a0-a1+a2-...=5
f(15)=f(16-1)=16k2+a0-a1+a2-...=9
两式相减：8(k1-2k2)=4
(k1-2k2)=1/2, 矛盾！
因此结论成立。

Answer 3

若命题不成立 有 对所有整系数多项式f(x)，存在[f(7)-5]^2+[f(15)-9]^2等于0
则有 f(7)=5 且 f(15)=9