Question

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1.F2,且|F1F2|=6√13 ，椭圆的长半轴与双曲线

实半轴之差为4，离心率之比为3：7. （1） 求这两条曲线的方程
（2）若P为两曲线的一个交点，求角F1PF2的余弦值。
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Answer 1

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1.F2,且|F1F2|=6√3 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。
（1） 求这两条曲线的方程
（2）若P为两曲线的一个交点，求角F1PF2的余弦值。
解：（1）根据题意2c=6√3，c=3√3
椭圆实半轴为a，双曲线实半轴为a’
a-a‘=4
c/a：c/a’=3：7
c=3√13
解得a=7，a‘=3
b²=a²-c²=49-27=22
b’²=c²-a‘²=27-9=18
椭圆方程：x²/49+y²/22=1
双曲线：x²/9-y²/18=1
（2）因为椭圆和双曲线交点都是对称的
所以我们取第一象限的点P
PF1+PF2=14（椭圆定义）
PF1-PF2=6（双曲线定义）
解得PF1=10,PF2=4
COSF1PF2=(PF1²+PF2²-F1F2²)/(2PF1*PF2)=(100+16-108)/(2*10*4)=1/10
思路就是这样，数据上出现了问题