Question

若函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+无穷）内为增函数，试求实数a

Answer 1

y'=x^2-ax+a-1
=[x-(a-1)][x-1]
∴两个根：x=(a+1)和1

讨论a-1与1的大小
1.a-1>1即a>2

则 [x-(a-1)][x-1]>0的解集为X>a-1 X<1
故函数在（-∞，1）单调递增
（1，a-1）单调递减
（a-1,＋∞）单调递增
如要满足在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，＋∞）内为增函数则
a-1≥4

a-1≤6

解得5≤a≤7

与上述a>2取交集

得5≤a≤7

2.a-1<1即a<2

则[x-(a-1)][x-1]>0的解集为X>1 X<a-1
故函数在（-∞，a-1）单调递增
（a-1，1）单调递减
（1,＋∞）单调递增
如要满足在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，＋∞）内为增函数则
1≥4不可能

因此舍弃此种情况

综上5≤a≤7

Answer 2

根据f(x)（1，4）内为减函数，若x1＜x2， 那么f(x1)＞f(x2) 将1和4带入计算得到，a＞27/11 ...............（1）；

根据f(x)（6，+无穷）内为增函数，若x1＜x2， 那么f(x1)＜f(x2) 将6和7带入计算得到，a＜248/33 ...............（2）；

结合1和2得出， 248/33 ＞ a＞27/11

Answer 3

f′(x)=x²-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],1和a-1是极值点。依题意知4≤a-1≤6，故5≤a≤7